Едно неравенство

[ins-]

Нека [tex]a[/tex], [tex]b[/tex], [tex]c[/tex] са реални числа, за които [tex]abc=1[/tex]. Да се докаже, че
[tex]\frac{a^{2}}{b^{2}+c}+\frac{b^{2}}{c^{2}+a}+\frac{c^{2}}{a^{2}+b}\geq\frac{a}{b+c^{2}}+\frac{b}{c+a^{2}}+\frac{c}{a+b^{2}}[/tex].

[drago]

Понякога ти се възхищавам от устрема, който имаш да измисляш!
Обаче, като ги пускаш тези неща(гледам, че си пуснал и в art-a) поне малко пробваш ли, за да видиш дали е вярно или не и да не губиш времето на хората?

[ins-]

Пробвах сигурно към 1-2 часа с формули в Ексел и не можах да намеря контра-пример. Тръгвам по различни начини да го докажа. Oбщото между всички тях е, че стигам до под кривата круша, но аз съм лаик , не знам много фреймуърки и методи. Чух, че има хора, които са го доказали по няколко начина, но докато не го видя - не вярвам.

[mkmarinov]

На мен поне ми изглежда невярно. Освен ако не си искал да кажеш, че е за положителни реални числа.
Нека [tex]c=2, b \to -4-0, a \to -\frac{1}{8}[/tex]. Тогава дясната страна расте неограничено, докато лявата остава крайна.

[Гост]

Да, забравил съм да кажа, че са положителни. Извинявам се много

[ins-]

Нека [tex]a[/tex], [tex]b[/tex], [tex]c[/tex] са реални положителни числа, за които [tex]abc=1[/tex]. Да се докаже, че
[tex]\frac{a^{2}}{b^{2}+c}+\frac{b^{2}}{c^{2}+a}+\frac{c^{2}}{a^{2}+b}\geq\frac{a}{b+c^{2}}+\frac{b}{c+a^{2}}+\frac{c}{a+b^{2}}[/tex].

Това е коректното условие.

[drago]

Да, положителни са. Ти в арт-а (http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 3&t=473144) си го постнал така и аз въобще не видях, че тук това изискване е пропуснато.
За съжаление не е вярно и за положителни.
На пръв поглед, когато една от променливите клони към 0 или безкрайност всичко е ОК, лявата страна доминира.
Нека вместо [tex](a,b,c)[/tex] сложим [tex](x, 1, \frac{1}{x}),\, x>0[/tex]. Тогава, след дълги сметки, които прилежно направих , се получава, че неравенството става :

(1) [tex]P(x) = x^9 -2x^8 +2x^7 - 2x^5 + 3x^4 - 4x^3 + 3x^2 -2x + 1 \geq 0[/tex].

Правилото на Декарт за брой положителни корени дава, че са четни, т.е. може и да са 0, димек нищо. Обаче днес не е като преди 20 години, има технически прогрес (оу, йееее...!). И така отиваме в един произволен сайт с онлайн графики, въвеждаме [tex]P(x)[/tex]и виждаме, че в един много малък интервал между 0 и 1, по близко до 1, функцията слиза мъничко под нулата.
Това е приятелю Инс, положението.

[ins-]

Може и да си прав. Сигурен ли си, че не си объркал в "дългите сметки"? Кажи конкретни стойности, за които е грешно, или поне такива с приближения. Ще го пробвам пак с тези стойности, които споменаваш.

[drago]

Сигурни неща на този свят има много малко.
Мисля, че можеш сам да видиш къде P(x) става отрицателно и после да заместиш съответните значения за a,b,c в изходното неравенство. Хем ще провериш дали вярно смятам

[ins-]

(0,8;1;1,25) - за тях си прав. Много ти благодаря.
Странно беше, че толкова дълго време никой не беше го забелязал, а един приятел твърдеше, че известен български математик го е решил по 2-3 начина и е казал, че е "лесна" задача. В art-a обикновено след минути казват, ако има нещо такова. Явно просто тези стойности са "по-коварни", а ти прилагаш хитър метод, но ... кой да се сети. Грешката ми тук е, че не казах, че "открит проблем", както съм написал там. Затова преди време исках да има раздел за "открити проблеми" в сайта.

[drago]

(0,8;1;1,25) - за тях си прав. Много ти благодаря.
...

За нищо, Боби. Май трябва да почерпиш. За дългите сметки де...!

[ins-]

да! Просто "на око" не се забелязва лесно. Поне другото неравенство дето пуснах ми харесва. Ще сложа линк с решението му, който не е видял решението да го види.

[Гост]

При (0,8,1,1,25) неравенството е в сила. Най-вероятно изчисленията на drago са грешни, защото, ако се положи a=x, b=1, c=1/x. Поне аз получих, че [tex]f(x)=x^10-x^9+2x^7-2x^6-x^3+1[/tex], а след пускане в графична програма тя е по-голяма или равна на 0, като равенство се достига само при x=1 при x>0 т.е. неравенството е вярно в този случай. Може ли някой друг да направи проверка?