отличителна задача

[martin123456]

офф винаги ми е хаесвала тази задача и въпреки че е донякъде много ясна ще я напиша. като бях малък и не бях запознат с ТЧ и МА ме интимидираше:
нека [tex]x[/tex] е най-големият положителен корен на уравнението [tex]x^3-3x^2+1=0[/tex]. докажете, че [tex][x^{1788}][/tex] се дели на 17.

[nikko]

Правим смяна [tex]x=y+1[/tex], за да стигнем до уравнение от вида [tex]x^3+px+q.[/tex]
[tex](y+1)^3-3(y+1)^2+1=y^3+3y^2+3y+1-3y^2-6y-3+1=y^3-3y-1=0[/tex]

[tex]y=2z[/tex] имаме [tex]8z^3-6z-1=0\;\Leftrightarrow4z^3-3z-\frac{1}{2}=0[/tex] лявата страна прилича на [tex]\cos 3\theta = 4 \cos^3\theta - 3 \cos \theta[/tex]
[tex]z=\cos t[/tex] и имаме [tex]\cos 3t=\frac{1}{2}\;\Leftrightarrow t=\frac{\pi}{3}+2k\pi\Leftrightarrow t=\frac{\pi}{9}+\frac{2k\pi}{3}[/tex]
[tex]y=2z=2\cos\left(\frac{\pi}{9}+\frac{2k\pi}{3}\right)[/tex] и [tex]x=1+2\cos\left(\frac{\pi}{9}+\frac{2k\pi}{3}\right)[/tex] и за [tex]k=3l,\;l\in\mathbb{Z}[/tex] е най-големия положителен корен.
[tex]x_1=1+2\cos\frac{\pi}{9}\approx 2,8794[/tex], другите корени
[tex]x_2\approx-0,5321[/tex], [tex]x_3\approx 0,6527[/tex]
[tex]x_{2,3}[/tex] според формулите на Виет изпълняват [tex]x_2+x_3=3-x_1\approx 0,1206[/tex].
Нека [tex]S_n=x_1^n+x_2^n+x_3^n[/tex] имаме [tex]x_i[/tex] - корен, т.е.
[tex]x_i^3=3x_i^2-1[/tex] и [tex]S_3=3S_2-S_0[/tex], следователно [tex]S_{n+3}=3S_{n+2}-S_n[/tex].
Разглеждаме рекурентната редица по модул 17.
[tex]S_0\equiv 3,\,S_1\equiv3,\,S_2\equiv9,\,S_3\equiv7,\,S_4\equiv1,\,S_5\equiv11,\,S_6\equiv9,\,S_7\equiv9,\,S_8\equiv16,\,S_9\equiv5,\,S_{10}\equiv6,\,S_{11}\equiv2,\,[/tex]
[tex]S_{12}\equiv1,\,S_{13}\equiv14,\,S_{14}\equiv6,\,S_{15}\equiv0,\,S_{16}\equiv3,\,S_{17}\equiv3,\,S_{18}\equiv9,\,S_{19}\equiv7[/tex] и явно имаме период 16, т.е. [tex]S_{16q+r}\equiv S_r[/tex]
[tex]1788\equiv 12(\text{mod}\;16)[/tex] и [tex]S_{1788}\equiv S_{16}\equiv 1(\text{mod}\;17),[/tex] но [tex]0<x_2^n+x_3^n<1[/tex] за всяко [tex]n\geq 2[/tex], т.е. [tex]\color{red}\left[x^{1788}\right]=S_{1788}\;-\;1\equiv 0(\text{mod}\;17)[/tex]