Задача с квадрат

[Гост]

Даден е квадрат [tex]ABCD[/tex] на който диагоналите му се пресичат в точка [tex]O[/tex] .
През [tex]A[/tex] е построена права успоредна диагонала [tex]BD[/tex], която пресича [tex]CB[/tex] в точка [tex]T[/tex].Нека [tex]N[/tex] е среда на [tex]CO[/tex], отсечката [tex]NT[/tex] пресича [tex]BO[/tex] и [tex]AB[/tex] съответно в точки [tex]F[/tex] и [tex]S[/tex] ,намерете отношението [tex]NF:FS:ST[/tex] .

[Anubis]

Каквото е необходимо, съм ти го нарисувал на картинката, надявам се, че се разбира.

Означаваме страната на квадрата с [tex]a[/tex]. Тогава [tex]AC=a\sqrt{2} \Rightarrow AO = \frac{a}{2}\sqrt{2} \Rightarrow ON = \frac{a}{4}\sqrt{2}[/tex].

[tex]\angle ACT = 45^\circ, \, \angle CAT = 90^\circ \Rightarrow \angle ATC = 45^\circ \Rightarrow AT = AC = a\sqrt{2}[/tex]

[tex]AS[/tex] е ъглополовяща в [tex]\triangle ATN[/tex], откъдето [tex]\frac{AT}{AN} = \frac{ST}{SN} \Rightarrow \frac{ST}{SN} = \frac{4}{3} \Rightarrow ST=4x, \, SN=3x[/tex]

Понеже [tex]TN = \frac{5a}{4}\sqrt{2}[/tex], то [tex]x = \frac{a\sqrt{2}}{4} \Rightarrow SN = \frac{3a\sqrt{2}}{4}, \, \fbox{ST = a\sqrt{2}}[/tex].

[tex]cos \varphi = \frac{AN}{NT} = \frac{3}{5} = \frac{NO}{FN} \Rightarrow FN = \frac{5a\sqrt{2}}{12} \Rightarrow FS=NS-NF \Rightarrow \fbox{FS=\frac{a\sqrt{2}}{3}}[/tex]

[tex]NF+FS=NS \Rightarrow NF=NS-FS \Rightarrow \fbox{NF=\frac{5a\sqrt{2}}{12}}[/tex]