Радиус

[ganka simeonova]

Диагоналите на вписан четириъгълник са взаимно перпендикулярни и се пресичат в т.F. Да се докаже, че средите на страните му и проекциите на F върху страните му лежат на една окръжност. Да се намери радиусът на тази окръжност, ако радиусът на дадената е R и разстоянието от центъра и до F е d.

[Гост]

http://students.imsa.edu/~tliu/Math/planegeo.pdf
2.77 - показва, че посочените точки лежат на окръжност с диаметър KL, където K и L са средите на AB и CD.

[ganka simeonova]

Чакам решение!

[drago]

По-добро решение от това в книгата от линка едва ли ще дочакаш

[ganka simeonova]

Има и друго добро решение:)

[Гост]

Сега за радиуса ...
Ако k1(O1, R1) и k(O, R) са радиусите на търсената и описаната около ABCD окръжност, а М и N са средите на AD и BC, то MONO1 е успоредник с диагонали 2d и 2R1, а страните на успоредника са AD/2 и BD/2. За успоредника е известно, че
d1^2+d2^2=2(a^2+b^2). Следователно, за да намерим R1 е необходимо да знаем колко AD^2+BD^2 чрез R.
От лемата от линка по-долу http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/ ... OL11.shtml и от факта, че за вписан четириъгълник с перпендикулярни диагонали е в сила AB^2+CD^2=AD^2+BD^2 лесно можем да намерим колко е AD^2+BD^2 чрез R, а оттам и R1.
Твърдението, че MONO1 e успоредник - е известен факт и доказателството не ми се описва. Виждал съм го на няколко места като задача. За упражнение любознателния читател може да се опита да го докаже

[loving_math]

Nещо означенията на Гост не са съвсем верни. Да, доказва се успоредник, но при зададените букви той въобще не е МONO1. Успоредникът е MONF, a O1 e пресечната точка на диагоналите му. Именно О1 е центърът на окръжността, която минава през средите N и M и през проекциите на F.Ако пресечната точка на MF и BC е точка Н, лесно се доказва, че ▲MHN е правоъгълен.=>MO1=NO1=HO1=R1

[Гост]

Да ... като бързам е така. Това беше само упътване. За да е пълно решение - трябва да се изпише с детайли и да се приложи чертеж. Мислех над задачата без чертеж с означени букви. Може и заради това да се е получило така. Все пак основната идея е подобна. Задачата е "компилация" от много известни факти, но е забавна. Кой е автора и къде се е появявала?

[loving_math]

Radius.png (15.26 KiB) Прегледано 386 пъти

Пускам сега и чертеж, и решение.

М и N -среди
MFxAD=H, NFxBC=G
[tex]\angle MFC=\angle AFH = \alpha[/tex](връхни)
[tex]\Delta CFB[/tex] е правоъгълен с медиана към хипотенузата FM
[tex]CM=MF => \angle MCF= \angle MFC =\alpha[/tex]
[tex]\angle BCA = \angle BDA =\alpha[/tex]
[tex]\Delta AFD[/tex] е правоъгълен с медиана към хипотенузата FN
[tex]FN=ND => \angle NFD=\angle NDF =\alpha[/tex]
[tex]\angle NFA = \angle NAF = 90-\alpha[/tex]
[tex]\Delta FHA => \alpha+90-\alpha +\angle FHA=180 ^\circ =>\angle FHA=90 ^\circ[/tex]
[tex]MH \bot AD, ON \bot AD =>MH || ON[/tex]
По аналогичен начин доказваме, че [tex]OM || GN[/tex]
[tex]MONF[/tex] е успоредник.
[tex]MO_{1}=NO_{1}[/tex]
[tex]\Delta MNG[/tex] е правоъгълен с медиана [tex]GO_{1}[/tex]
Aналогично и за [tex]\Delta MNH[/tex]
[tex]=>MO_{1}=NO_{1}=HO_{1}=GO_{1}=R_{1}[/tex]
=> Средите M , N и проекциите на F лежат на една окръжност [tex]k_{1}(O_{1}, R_{1})[/tex]
[tex]MN^2+FO^2=2(MF^2+NF^2)[/tex]
[tex]MF=\frac{BC}{2 }, FN=\frac{AD}{ 2} => MN^2+OF^2=2(\frac{BC^2}{ 4} + \frac{AD^2}{4 })=\frac{1}{ 2}(BC^2+AD^2)[/tex]
По лемата , дадена от Гост:
[tex]CF^2+BF^2+AF^2+DF^2=(2R)^2[/tex]
[tex]BC^2+AD^2=4R^2[/tex]
[tex]MN^2+FO^2=\frac{1}{2 }.4R^2[/tex]
[tex]MN^2+FO^2=2R^2 <=> MN^2=2R^2-d^2[/tex]
[tex]MN=\sqrt{2R^2-d^2}[/tex]
[tex]R_{1}=\frac{\sqrt{2R^2-d^2} }{2 }[/tex]

[Гост]

Браво за решението. За чертежи, ако правиш ще ти е по-лесно да използваш GeoGebra или друга подобна програма.

[ganka simeonova]

Браво, Теди

[inveidar]

Без лемата. От успоредника [tex]MONF \Rightarrow MN^{2}+d^{2}=2(MF^{2}+FN^{2})=\frac{1}{ 2}(AD^{2}+BC^{2})=2R^{2}[/tex]
Защо [tex]AD^{2}+BC^{2}=4R^{2}[/tex]? Може да използвате синусовата теорема и перпендикулярността на диагоналите.