Тетраедър с два по два равни срещуположните ръба

[Гост]

В тетраедър две по две срещуположните ръбове са равни.Да се докаже, че всеки връх на тетраедъра се проектира в равнината на срещуположния му триъгълник в точка от правата на Ойлер, която е симетрична на ортоцентърът на триъгълника спрямо центъра на описаната около него окръжност.

[ganka simeonova]

Sladka zadacha. dva dena q mislih i sega uspqh, no pisha ot uchilishte. Sledobed ste napisha reshenie s chertezh. Sori za latinicata

[ganka simeonova]

Ще приложа два чертежа за решението.
Черт.1) В равнината на основата на равнобедрения тетраедър ще построим [tex]\Delta MNP[/tex], така че страните на основата да са средни отсечки. Тогава:
[tex]DA=BC=\frac{1}{ 2}AM=>\Delta PDM-[/tex]-правоъгълен. Аналогично и за останалите околни стени=>
[tex]NMPD[/tex]-ортоцентричен тетраедър и върхът му се проектира в ортоцентъра [tex]H_1[/tex]на [tex]\Delta MNP[/tex].
Остава да докажем, че Н1 е точката от правата на Ойлер, симетрична на Н относно О.

Черт.2)Ясно е, че [tex]HG:GO=2:1=>HG=2x; GO=x[/tex] .Двата триъгълника са централно подобни с коефициент 1:2 и двата имат общ медицентър. Освен това т.Н се явява център на описаната за големия триъгълник окръжност (защо?).
Тогава двата триъгълника имат обща ойлерва права. =>
[tex]H_1\in GH=>HG:GH_1=1:2=>GH_1=4x=>H_1O=3x=OH[/tex]- с това доказателството е завършено.

[N.Stavrev]

Отлично решение ! Моята идея е същата .Задачата е от двубоя между Ямбол и Сливен

[ganka simeonova]

Ти ли я пусна или Гост? Не знам откъде е, но ми хареса и то много

[N.Stavrev]

Да, аз я пуснах