Симедиана

[inveidar]

es1.png (26.22 KiB) Прегледано 960 пъти

Триъгълник [tex]ABC[/tex] е вписан в окръжност. Допирателните в точки [tex]A[/tex] и [tex]B[/tex] се пресичат в точка [tex]D[/tex]. Ако [tex]M[/tex] е средата на [tex]AB[/tex], да се докаже, че [tex]\angle DCB=\angle MCA[/tex].

Задачата е известна, но поучителна и се използва при решаването на други по-сложни.

[mkmarinov]

Нека означим [tex]\angle ACM = x \in (0, \gamma) \subset (0, \pi)[/tex], [tex]\angle BCD = y \in (0, \gamma) \subset (0, \pi)[/tex].
[tex]\frac{CM}{MB}=\frac{CM}{MA} => \frac{sin\beta }{sin(\gamma - x)}=\frac{sin\alpha }{sinx}[/tex]
[tex]\frac{CD}{BD}=\frac{CD}{DA} => \frac{sin \alpha}{sin y}=\frac{sin \beta}{sin (\gamma -x)}[/tex]
От тези двете следва, че [tex]\frac{sin y}{sin x}=\frac{sin(\gamma -y)}{sin(\gamma -x)}[/tex]
[tex]siny.sin(\gamma-x)=sinx.sin(\gamma-y)[/tex]
[tex]siny sin\gamma cosx - siny cos\gamma sinx = sinx sin\gamma cosy - sinx cos\gamma siny[/tex]. Събираемите с отрицателни знаци от двете страни се унищожават, делим на [tex]sin \gamma \ne 0[/tex] и получаваме
[tex]sinycosx=cosysinx => sin(x-y)=0[/tex]. От това, както и границите за ъглите x и y се получава [tex]x=y[/tex]

[inveidar]

Чудесно! Хайде сега без тригонометрия.

[monika_at]

simediana.png (46.08 KiB) Прегледано 689 пъти

Хайде и без тригонометрия:) Построяваме [tex]AD\bot CA; BH\bot AB[/tex], продължаваме дадените страни и дострояваме до триъгълник [tex]CHD[/tex], в който [tex]AD, HB[/tex] са височини => [tex]\Delta ACB; \Delta DCH[/tex]- подобни. Нека T e среда на НВ. Освен това
[tex]\angle AHT=\angle HAT=\angle CBA=\beta ; \angle BDT=\angle TBD=\angle CAB=\alpha[/tex] и [tex]AT=BT=HT=TD[/tex]=>
[tex]\angle TAB=\angle TBA=\angle ACB=\gamma[/tex]. Дъгата [tex]AB=2\gamma => \angle TAB; \angle ABT[/tex]- периферни=>
[tex]AT, BT[/tex]- допирателни към окръжността.
От подобието на [tex]\Delta CHD; \Delta CBA[/tex] следва подобия на [tex]\Delta CMB, \Delta HCT=> \angle HCT=\angle MCB[/tex]