Теорема на Брауер за неподвижната точка.

[Baronov]

Тази тема сигурно е за "Висша математика", но тук пишат повече хора. Чета един учебник по алгебрична топология и съм изумен какви неща се доказват още в началните глави. Ето един пример:

Теорема на Брауер Всяка непрекъсната функция, дефинирана върху затворения кръг в равнината и приемаща стойности пак там има неподвижна точка.

Доказателството там използва структурата на фундаменталната група на окръжността и всъщност следва елементарно от факта, че тази група е всъщност безкрайна циклична група.

Пише още, че Шпернер е открил елементарно комбинаторно доказателство на тази теорема, използващо лемата на Шпернер(коя е тая лема). Интересно ми е дали някой го е виждал и изобщо как би изглеждало комбинаторно доказателство. Ще се радвам да чуя идеи по въпроса, включително и коя е тая лема на Шпернер, която би могло да се използва ( а и как).

Между другото теоремата е вярна за произволно изпъкнало и компактно (в този контекст - ограничено и затворено) множество в равнината.

[ubuntu]

Лемата на Шпернер,btw,играе ключова роля в решаването на даден тип проблеми.Ще дам само един класически пример, който първо ми идва наум , макар че едва ли е най-подходящ за този подфорум , но все пак е красив резултат.

Докажете,че е невъзможно даден квадрат да бъде разделен на нечет брой триъгълници с равни лица.

Тази задача мисля , че е доказана някъде 60-те,70те години на миналия век.Разбира се хубаво е да се отбележи , че триъгълниците не е задължително да са еднакви.На този линк може да видите доказателството на Шпернер на т-мата на Брауер. - http://www.princeton.edu/~jacobfox/MAT307/lecture03.pdf

[Baronov]

Виждал съм твърдението на лемата на Шпернер, но не знаех, че така се нарича. Благодаря за линка, готино доказателство.