Задачи за извънкласна работа по математика

[slav4o9405]

Привет, някой би ли ми помогнал със задачи от 3 вкл. до 10 вкл. или би ли ми дал някакви насоки. Много ще съм му благодарен. СПЕШНО Е! В рамките до 3-4 дни - до 19-20.07.2017 вкл.

zadachi.jpg (163.54 KiB) Прегледано 2227 пъти

[pal702004]

Ти ли ще се явяваш на систезание, или ние?

За 6-та задача: Ако $p,q$ са прости, $n,r \in \mathbb{N}$ и $p^{2n}+q^{2n}=r^2$, то аз съм трамвай.

[slav4o9405]

Мисля, че тук хората са разумни и може да помогнат на човек, когато има нужда от помощ, но явно не е така! Би могъл да си спестиш подобни укорителни коментарите pal702004! За да съм качил задачите, явно имам нужда от помощ, а това че са със състезателен характер - не означава, че директно съм на първа линия на състезанието.

[pal702004]

Разбира се, че тук хората помагат, когато някой има нужда от помощ. Но все пак зависи какво наричаме "помощ".
Поправи ме, ако греша: Дали са ти задачи (цели 10, не знам дали някакво онлайн състезание, или не), но ние трябва да решим твоите задачи, при това в определен срок, ти да ги препишеш и да ги представиш на конкурса, или на учителя - балък от свое име, без да си си мръднал пръста. И тази гнусна измама ти я наричаш "помощ". Правилно ли съм разбрал?

[slav4o9405]

Видя ли заглавието, преди да коментираш?

[pal702004]

Видял съм заглавията и на трите теми, в трите раздела, където си постнал тази снимка. От всичките ти 3 съобщения във форума.

[slav4o9405]

Мисля, че в момента се правиш на интересен и да привлечеш внимание - под път и над път такива като теб!

[pal702004]

За съжаление, под път и над път са такива като тебе, не като мене. Както и да е, спирам диалога. Ще се включа в темата по задачите, но след 20-ти.

[slav4o9405]

Ще чакам да видя дали държиш на думата си (не заради друго - казваш, че много ги разбираш и просто от инат не искаш да помогнеш), а и да сверяваме отговорите

[Saposto_MM]

Задачите са по предмета за извънкласна работа към учителския профил във ФМИ, СУ. Някои са приятни.

[grav]

slav4o9405: когато се търси помощ обикновено се казва какво си направил, какво си опитал и къде точно намираш трудностите. Поне с две думи кажи, нещо от сорта на: за 5та задача пробвах това..., но стигнах до тук..., за 10та имам следната идея..., направ път ли съм и т.н. Така както си го написал иcкаш решения, а не помощ.

[math10.com]

За информация това беше изпит към учителския профил във ФМИ "Съдържание и методика на извънкласната работа по математика" , воден от проф. Иван Тонов.Всики студенти явили се на този изпит имат отлични оценки в това число и автора на темата "slav4o9405".Нека всички, които обещаха да се включат да напишат своите решения.Задачи 3-та и 4-та са давани на международни олимпиади преди години, 5-та е авторска на проф. Тонов.Решенията на задачите с полиноми (7-ма , 8-ма и 9-та ) биха били полезни за някои ученици.Изобщо темите "теория на числата" и "полиноми" са много слабо застъпени в задължителната програма , а има доста интересни задачи използващи този материал.И тъй като Слави е дал във файла само задачите от 3-та до 10-та явно защото е решил сам първите две ето и техните условия.

1.Редицата от естествени числа [tex]t_1,t_2,....,t_n,....[/tex] е дефинирана посредством равенствата [tex]t_1=2; t_{n+1}=t_n^2-t_n+1.[/tex]Да се докаже, че ако [tex]m \ne n[/tex], то [tex]t_m[/tex] и [tex]t_n[/tex] са взаимно прости.
2.Да се докаже, че ако [tex]m \ne n[/tex], то [tex]F_m[/tex] и [tex]F_n[/tex] са взаимно прости, където [tex]F_n=2^{2^n}+1[/tex]

Очаквам много и разнообразни решения.

[pal702004]

1) Ако $t_k\equiv 0 \pmod p$, то $t_{k+1} \equiv 1 \pmod p,t_{k+2} \equiv 1 \mod p\cdot$ Тоест, ако някой член се дели на просто $p$, то всички последващи не се делят (дават остатък 1 при делене на $p$). Тоест, всички членове са взаимнопрости, независимо какво е $t_1$

2) Аналогично за числата на Ферма $F_n=2^{2^n}+1$, тъй като $F_{n+1}=(F_n-1)^2+1=F_n^2-2F_n+2$

Ako $F_k\equiv 0 \pmod p,\Rightarrow F_{k+1}\equiv 2 \pmod p,F_{k+2}\equiv 2 \pmod p,\cdots$

[pal702004]

3) $bcx=N-abz-acy$

Известно е, че ако $\gcd(k,n)=1$, то $ky,\;y\in [1;n]$ образува пълна система от остатъци по модул $n$

(Ако $ky_i\equiv ky_j \pmod n\Rightarrow k(y_j-y_i)\equiv 0 \pmod n$, но $\gcd(k,n)=1$ и $0<y_j-y_i<n$)

Следователно съшествува $z\in [1;c]:\;abz\equiv N \pmod c$

Аналогично $\exists y \in [1;b]:\; acy\equiv N \pmod b$

В случая $N=2abc, z=c,y=b, x=0$

При $N>2abc,\;x>0$

4) С груби оценки се показва, че сбора от цифрите на сбора от цифрите на сбора от цифрите е едноцифрено число - цифровия корен на числото, който е 7.

[pal702004]

6) Още тогава си изказах недоумението от условието. Ясно е, че p и q са 2 и 3 - по модул 3 и 4. От формулата за взаимнопрости питагорови тройки:

$\\2^n=2uv\\3^n\equiv u^2-v^2$

където $u,v$ са взаимнопрости числа с различна четност.

От първото равенство $v=1,\;(u=2^{k-1})$

От второто $u-v=1\,;(u+v=3^n)$

Ясно е, че няма решение - ни просто, ни съставно $r$

Също така лесно се доказва, че $p^n+q^n$ e съставно, ако $n\ne 2^k$

[pal702004]

7) Ako $f(x)$ е полином от степен $n$, а $g$ - полином от степен $k$, то $f(2x)$ е полином от степен $n,\; g(f(x))$ - полином от степен $nk$
Тоест, полиномите може да са тъждествено равни само ако $g$ е полином от първа степен.

$g(t)=kt+q$

$f(x)=a_0+a_1x+\cdots +a_nx^n$

$f(2x)=a_0+2a_1x+\cdots 2^na_nx^n$

$g(f(x))=ka_0+q+ka_1x+\cdots+ka_nx^n$

Всички коефициенти, освен старшия и свободния член трябва да са 0.
$f(x)$ е полином от вида $f(x)=ax^n+b$

$g(t)=2^nt-(2^n-1)b$
----------
Ако $\sin(x)$ е полином, то и $\sin(\pi/2-x)$ е полином, но

$\cos(2x)=2\cos^2(x)-1$, тоест, съществува нелинеен полином

$g(t)=2t^2-1$, такъв, че $f(2x)=g(f(x))$. Тук $f(x)=\cos(x)$

Противоречие.

[pal702004]

8) Всички полиноми от аргумента $x^2(1-x^2)$

9) $f(x)=3x-2$. Може да се използва това, че ако полинома има корен, различен от $\frac 2 3$, то той трябва да има безброй много различни корени, което не е добре за бизнеса с полиномите.

10) Интегриране, както спомена KOPMOPAH

[pal702004]

По 5-та задача - аветорската на проф. Тонов, мога само да кажа, че не съществува такава пермутация за нечените $n$

Да означим с $s$ втората редица - от частичните суми. $s_1=a_1,s_k=s_{k-1}+a_k$

За да образува пълна система от остатъци по модул $n$ е необходимо $a_1=0$, иначе, ако $a_k=0,k\ne 1$ то $s_k=s_{k-1}$

Тоест, $s_1=0$. От друга страна

$s_n=\sum_{k=0}^{n-1} k=\frac{n(n-1)}{2}\pmod n$

И ако $n$ е нечетно, то $s_n=0$

За четните $n=2,4,6$, които съм проверил, такава пермутация съществува, но...засега съм дотук.

Да, и бих искал да се извиня на автора на темата - студент в СУ, че не съм преценил правилно нещата. Просто поведението беше типично за определен профил хора, което ме е подвело.

[math10.com]

3) $bcx=N-abz-acy$

Известно е, че ако $\gcd(k,n)=1$, то $ky,\;y\in [1;n]$ образува пълна система от остатъци по модул $n$

(Ако $ky_i\equiv ky_j \pmod n\Rightarrow k(y_j-y_i)\equiv 0 \pmod n$, но $\gcd(k,n)=1$ и $0<y_j-y_i<n$)

Следователно съшествува $z\in [1;c]:\;abz\equiv N \pmod c$

Аналогично $\exists y \in [1;b]:\; acy\equiv N \pmod b$

В случая $N=2abc, z=c,y=b, x=0$

При $N>2abc,\;x>0$

4) С груби оценки се показва, че сбора от цифрите на сбора от цифрите на сбора от цифрите е едноцифрено число - цифровия корен на числото, който е 7.

pal702004,
Решението на 3-та нещо не ми харесва.По условие трябва да докажеш че НЕ СЪЩЕСТВУВАТ [tex]x,y,z \in \mathbb{N}[/tex], за които да е вярно [tex]xbc+yac+zab=2abc[/tex].След това да докажеш, че СЪЩЕСТВУВАТ [tex]x,y,z \in \mathbb{N}[/tex], за които да е вярно [tex]xbc+yac+zab=2abc+k ; k\in \mathbb{N}[/tex].
За първата част нещата са ОК , но това $N>2abc,\Rightarrow x>0$, не доказва, че за $N=2abc+1 $, съществуват $x,y,z \in \mathbb{N}$ удовлетворяващи условието

[pal702004]

math10.com, щом сте съгласен с първата част, би трябвало да се съгласите, че:

$bcx=N-abz-acy$

1) Съществува, при това единствено $y\in [1;b]$, такова, че дясната част се дели на $b$ ($acy\equiv N \pmod b$)

2) Съществува, при това единствено $z\in [1;c]$, такова, че дясната част се дели на $c$

3)Ако дясната част се дели и на $b$, и на $c$, то тя (предвид условието) се дели на $bc$

4) Ако $y\le b,z\le c, N>2abc$, то дясната част е положителна.

5) Ако дясната част е положителна и се дели на $bc$, то $x\in \mathbb{N}$

Случая $N=2abc$ е тривиален и не съм го разглеждал отделно - там очевидно $y=ub,z=vc$ и дясната част е $(2-u-v)abc$ не е положителна.

-----------------
По 5-та задача, за четни $n$ такава пермутация е $a_k=(-1)^k\cdot (k-1)$ но трябва да се докаже. Тоест

$0,1,-2,3,-4\cdots$