Делене на полиноми

[Гост]

Може ли решение на задачата:
Да се намери остатъкът от делението на [tex]x^{2023 }[/tex] - 1 с [tex]x^{4 }[/tex] + [tex]x^{3 }[/tex] + 2[tex]x^{2 }[/tex] + x + 1.

[pal702004]

$ x^4+x^3+2 x^2+x+1=(x^2+1)(x^2+x+1)$

1. Да намерим остатъците при делене на тези два полинома

$x^{2023}-1=(x-1)(1+x+x^2+\ldots + x^{2022})$

1a. $\pmod{1+x+x^2}$

$x^{2023}-1=(x-1)+(x-1)\cdot x\cdot(1+x+\ldots +x^{2021})$

Последната скобка се дели на $1+x+x^2$, понеже съдържа кратен на 3 брой събираеми. Или $x^{2023}-1 \equiv x-1 \pmod{1+x+x^2}$

1b. $\pmod {1+x^2}$

$x^{2023}-1=(x-1)(1+x+x^2)+(x-1)\cdot x^3\cdot(1+x+\ldots+x^{2019})$

Последната скобка се дели на $1+x^2$, понеже съдържа кратен на 4 брой събираеми. Или $x^{2023}-1 \equiv x^2-x \equiv x+1 \pmod{1+x^2}$

2. $x^{2023}-1=g(x)(x^2+1)(x^2+x+1)+f(x)$, където $f(x)$ е търсения полиноме от степен, не по-голяма от $3$. От горното имаме:

$f(x)=(ax+b)(x^2+x+1)+x-1$

$f(x)=(cx+d)(x^2+1)+x+1$

Остава да се определят коефициентите $a,b,c,d$

Ако не съм сбъркал никъде, $f(x)=-2 x^3 - 2 x^2 - x - 1$

[peyo]

...
Ако не съм сбъркал никъде, $f(x)=-2 x^3 - 2 x^2 - x - 1$

Сигурно някъде има грешка, защото

In [122]: q,r = div(x**2023 - 1, x**4 + x**3 + 2*x**2 + x + 1)

In [123]: r
Out[123]: -2*x**2 - x - 3

[pal702004]

Ами има, защото съм написал $x^2-x \equiv x+1 \pmod{1+x^2}$.

А то е $-x-1 \pmod{1+x^2}$

Откъдето за второто условие имаме

$f(x)=(cx+d)(x^2+1)-x-1$