Редица от числа и прости делители

[Гост]

Моля за малко помощ.

[peyo]

Моля за малко помощ.

Ще решим тази задача по един малко дълъг начин.

Това звучи като лесна редица. Да видим дали няма по-лесна формула. Започваме от 1:
$x_1 =1$
$x_2 =2 + (x_1) = 3$
$x_3 =3 + (x_1 + x_2) = 3 + 1 + 3 = 7$
$x_4 =4 + (x_1 + x_2+ x_3) = 4 + 1 + 3 +7= 15 = 2x_3+1$
$x_4 =5 + (x_1 + x_2+ x_3+ x_4) = 5 + 1 + 3 +7 + 15= 31 = 2x_4+1 $
...
$x_n = 2x_{n-1}+1$

Това е по-лесна за изчисляване формула. Но пак не е най-лесната. Ззбелязваме, че стойностите са почти степените на двойката и още по-лесната формула е:

$x_n = 2^{n}-1$

И сега търсим прости делители на нещо такова:
[tex]s_n = \sum_{n=1}^{15 }(2^{n}-1) -15 = \sum_{n=1}^{15 }2^{n} -30 = 2^{n+1} - 32 = 2^{n+1} - 2^5 = 2^5( 2^{n-4}-1)[/tex]

$s_{15} = 2^5 2047$

In [766]: factorint(2047)
Out[766]: {23: 1, 89: 1}

Значи отговор Б).

[Гост]

Много добре, но не разбирам защо е даден отговор 4.
Това е задача от КМС 8 клас 2023г.

[pal702004]

4 даже го нама като самостоятелен отговор и определено не е вярно. Нетрудно (напр. с индукция) се доказва, че $x_n=2^n-1$

И търсената сума $S=x_{16}-16-30=2^{16}-1-16-15=32(2^{11}-1)$

Малко ме съмнява осмокласниците да знаят (и да могат да докажат), че ако $p$ е просто число, то всички прости делители на $2^p-1$ са $1 \pmod p$

И за $p=11$ такъв кандидат до $2^6$ е само $23$, за да го проверят. Така или иначе простите делители са $2,23,89$

[ptj]

...
$x_n = 2^{n}-1$

И сега търсим прости делители на нещо такова:
[tex]s_n = \sum_{n=1}^{15 }(2^{n}-1) -15 = \sum_{n=1}^{15 }2^{n} -30 = 2^{n+1} - 32 = 2^{n+1} - 2^5 = 2^5( 2^{n-4}-1)[/tex]

$s_{15} = 2^5 2047$

In [766]: factorint(2047)
Out[766]: {23: 1, 89: 1}

Значи отговор Б).

[tex]s_n = \sum_{n=1}^{15 }(2^{n}-1) -15 = \sum_{n=1}^{15 }2^{n} -30 = 2^{16} - 32 =65504=2^5.23.89[/tex]

[pal702004]

...
$x_n = 2^{n}-1$

И сега търсим прости делители на нещо такова:
[tex]s_n = \sum_{n=1}^{15 }(2^{n}-1) -15 = \sum_{n=1}^{15 }2^{n} -30 = 2^{n+1} - 32 = 2^{n+1} - 2^5 = 2^5( 2^{n-4}-1)[/tex]

$s_{15} = 2^5 2047$

In [766]: factorint(2047)
Out[766]: {23: 1, 89: 1}

Значи отговор Б).

[tex]s_n = \sum_{n=1}^{15 }(2^{n}-1) -15 = \sum_{n=1}^{15 }2^{n} -30 = 2^{16} - 31 =[/tex]

От сбора на 15 нечени числа вадим нечетно. Няма как да се получи нечетно.

[ptj]

Бях изял една единица.