Подготовка за НВО

[Гост]

Здравейте! Много ще се радвам да ми помогнете с тези задачи. Благодаря предварително

[peyo]

зад. 14:
5, 7 някакви други и 9 червени рози

Взимаме един букет. Вероятността в този всички да са червени:
(9/21) * (8/20) * (7/19) = (3*2*7) / (7*5*19) = (3*2) / (5*19) = 6/95

[Меди]

2 зад.
Едно от приложенията на формулите на Виет е пресмятане стойността на изрази, които съдържат корените на дадено квадратно уравнение. Нека да определим коефициентите $a,b$ и $c$ на уравнението $x^2-8x-2=0$, т.е. $a=1,b=-8$ и $c=-2$. Пресмятаме $D=k^2-ac=(-4)^2-1\cdot(-2)=18>0$. Следователно уравнението има два корена $x_1$ и $x_2$. Тогава $x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=-\dfrac{-8}{1}=8$ и $x_1x_2=\dfrac{c}{a}=\dfrac{-2}{1}=-2$. Нека сега да разгледаме израза $M$:
$M=\dfrac{1}{x_1^2}+\dfrac{1}{x_2^2}=\dfrac{x_1^2+x_2^2}{x_1^2x_2^2}=\dfrac{x_1^2+x_2^2}{(x_1x_2)^2}=\dfrac{x_1^2+2x_1x_2+x_2^2-2x_1x_2}{(x_1x_2)^2}=\dfrac{(x_1+x_2)^2-2x_1x_2}{(x_1x_2)^2}=\dfrac{8^2-2\cdot(-2)}{(-2)^2}=\dfrac{68}{4}=17$.

[Меди]

14 зад.
Нека събитието $А=\{$в един букет всички рози са червени$\}$. Всички възможни изходи за събитието $A$ са $n_A=C_{5+7+9}^3=C_{21}^3=1330$ - имаме общо $5+7+9=21$ рози, от които трябва да изберем $3$, за да съставим букет. Благоприятните изходи (и трите рози, от които правим букета, са червени) са $m_A=C_9^3=84$ - имаме $9$ червени рози и от тях избираме $3$. И вече $P(A)=\dfrac{m_A}{n_A}=\dfrac{84}{1330}=\dfrac{6}{95}$.

[Меди]

12 зад.
Теорема на Талес за $\angle AOB$, раменете на който са пресечeни с успоредните прави $AB$ и $CD$, т.е. $\dfrac{OA}{OC}=\dfrac{AB}{CD}=\dfrac{6}{4}=\dfrac{3}{2}$. Нека $AB=3x$, а $CD=2x$. От условието знаем, че $AB+CD=3x+2x=5x=25$, откъдето $x=5$ $cm$ или $AB=3x=3\cdot5=15$ $cm$.

[Меди]

13 зад.

geogebra-export2.png (288.01 KiB) Прегледано 1614 пъти

Лицето на всеки описан многоъгълник се намира с формулата $S=pr$, т.е. в тази задача трябва да се опитаме да намерим полупериметъра. Знаем, че допирателните отсечки към окръжност от външна за окръжността точка са равни: $CP=CN$ и $BM=BN$. Следователно $CP+BM=CN+BN=BC=14$ $cm$. Освен това $QOPD$ и $AMOQ$ са квадрати и $DP=DQ=AQ=AM=r=6$ $cm$. В крайна сметка, $p=\dfrac{4\cdot6+2\cdot14}{2}=\dfrac{52}{2}=26$ $cm$ и $S=pr=26\cdot6=156$ $cm^2$.

[Меди]

Останала е 10 задача. Не съм много сигурен все още в знанията си за неравенства и метода на интервалите, но ще се опитам да напиша решението на неравенството. Моля, пишете, ако има някакъв проблем с решението ми.
Намираме корените на лявата страна на неравенството и разлагаме на множителите.
$5x^2-x-4=(5x+4)(x-1)$. Корените са $-\dfrac{4}{5}$ и $1$. Записваме неравенството във вида $(-x^2-4)(5x+4)(x-1)>0 \Leftrightarrow (x^2+4)(5x+4)(x-1)<0$. Множителят $(x^2+4) > 0$ за всяко $x$. Следователно той няма да променя знака на произведението. В най-десния интервал знакът е положителен и редуваме алтернативно в интервалите отдясно наляво. Окончателно получихме, че решенията на неравенството са $(-\dfrac{4}{5};1)$.

[pal702004]

peyo, Kristiyan K, вие прочетохте ли внимателно условието на 14 задача?
Тя е доста гадна. Сигурен съм, че и автора и не предполага колко е гадна (съдейки по отговорите).
Пояснявам: Задачата не е: Има няк'ви рози, купуваме си три, каква е вероятността и трите да са червени.
Задачата е: Има 21 рози (9 червени и 12 нечервени). От тях са направени 7 букета от по 3 рози. Каква е вероятността из между тези 7 букета да има един изцяло червен.
И пак изниква вечният въпрос: "точно един", или "поне един". Защото такива букети може да са от 0 до 3.

Така е формулирана задачата, съжалявам.

[peyo]

peyo, Kristiyan K, вие прочетохте ли внимателно условието на 14 задача?
Тя е доста гадна. Сигурен съм, че и автора и не предполага колко е гадна (съдейки по отговорите).
Пояснявам: Задачата не е: Има няк'ви рози, купуваме си три, каква е вероятността и трите да са червени.
Задачата е: Има 21 рози (9 червени и 12 нечервени). От тях са направени 7 букета от по 3 рози. Каква е вероятността из между тези 7 букета да има един изцяло червен.
И пак изниква вечният въпрос: "точно един", или "поне един". Защото такива букети може да са от 0 до 3.

Така е формулирана задачата, съжалявам.

Да, като се замисля съгласен съм, че условието е малко неопределено.
Ако въпросът например е каква е вроятността точно първият букет от ляво да е само от червени рози, тогава отговора е 6/95.

Ако въпросът е каква е вероятността да има поне един букет само от червени рози отговора е около 0.40977 получен със симулация на 100М случая. Интересно ще е някой да даде и точен отговор. Аз нещо не го получавам още.