Лице на триъгълник

[scola]

Моля за помощ -
Даден е равнобедрен ∆ABC,AC=BC=2 cm. Върху ъглополовящата на ∡ACB е взета точка O така, че ∡AOB=90° и OC=√2 cm. Намерете дължината на основата AB, ъглите и лицето на ∆ABC

[Knowledge Greedy]

Равнобедрен.png (2.77 KiB) Прегледано 921 пъти

Прилагаме косинусова теорема за [tex]\triangle AOC[/tex]
[tex]AO^2=2^2+(\sqrt{2})^2-2.\sqrt{2}.cos22^\circ30'[/tex]
И втората трудност*, [tex]cos^222^\circ 30'=\frac{1+cos 45^\circ}{2}[/tex]
Оттук [tex]cos^2 22^\circ 30'=\frac{1+\frac{\sqrt{2}}{2}}{2}[/tex]

[tex]cos22^\circ 30'=\frac{1}{2}\sqrt{2+\sqrt{2}}[/tex]
Нататък нещата са ясни- теорема на Питагор за [tex]\triangle ABO[/tex] и т.н.т.
___________________
* Първата трудност явно е, защо [tex]\angle ACB= 45^\circ[/tex]

[math10.com]

Колега, това горното хич не е вярно.....
[tex]\angle AOC=\angle BOC=\frac{360^\circ-90^\circ}{2}=135^\circ[/tex]
Сега Косинусова теорема за [tex]\triangle AOC[/tex] срещу [tex]\angle AOC[/tex]
[tex]AC^2=AO^2+CO^2-2AO.CO.cos (\angle AOC) \Rightarrow 4=2+AO^2-2.\sqrt{2}.(\frac{-\sqrt{2}}{2})AO[/tex],
което води до квадратното уравнение: [tex]AO^2+2AO-2=0[/tex]
[tex]\Rightarrow AO=\sqrt{3}-1[/tex]
И от Питагоровата теорема за [tex]\triangle AOB \Rightarrow AB^2=AO^2+BO^2=2(\sqrt{3}-1)^2\Rightarrow AB=\sqrt{2(\sqrt{3}-1)^2}=\sqrt{6}-\sqrt{2}[/tex]
Сега Косинусова теорема за [tex]\triangle ABC[/tex]
[tex]AB^2=AC^2+BC^2-2AC.BC.cos\gamma \Rightarrow 8-4\sqrt{3}=4+4-8cos\gamma \Rightarrow cos\gamma=\frac{3}{2} \Rightarrow \gamma=30^\circ \Rightarrow \alpha=\beta=75^\circ[/tex]
[tex]S_{ABC}=\frac{AC.BC.sin\gamma}{2}=\frac{2.2.\frac{1}{2}}{2}=1[/tex]

[Knowledge Greedy]

Съгласен съм с Вас, math10.com. Отклонил съм вниманието си и когато отново съм започнал да печатам, точката O съм счел за център на описаната окръжност, което е нелепо. Благодаря!