задача триъгълник-вписана и описана окръжност

[scola]

Точка О е център на вписаната в триъгълника ABC окръжност.Ако АВ=12см и ъгъл АСВ=120 градуса.Намерете дължината на радиуса на описаната около триъгълника AOB окръжност.

[Меди]

Вписана и описана окръжност.png (41.26 KiB) Прегледано 2442 пъти

От триъгълника $AOB$ имаме $\measuredangle AOB=180^\circ-(\measuredangle OAB + \measuredangle OBA)=180^\circ-(\dfrac12\measuredangle A + \dfrac12\measuredangle B)=180^\circ - \dfrac12(\measuredangle A + \measuredangle B)=180^\circ-\dfrac12(180^\circ-\measuredangle C)=90^\circ+\dfrac12 \measuredangle C=150 ^\circ$. Това е основна задача, но за съжаление в новите учебници не е формулирана като теорема и трябва да се доказва, когато се използва. Нека $k_1(O_1;r_1)$ е описана около $\triangle AOB$.
$\measuredangle AOB=150^\circ$ е вписан (защо?) и съответният му централен ъгъл е равен на $300 ^\circ$. За определеност нека точката $P$ лежи на дъгата $AB$, несъдържаща точка $O$. Съответната дъга на $\measuredangle AOB$ е $APB$. Това означава, че триъгълник $ABO_1$ е равнобедрен $(O_1A=O_1B=r_1)$ с $\measuredangle AO_1B=60^\circ$, т.е. равностранен. Следователно $AB=r_1=12$ $cm$.

[S.B.]

Без заглавие - 2020-04-03T215243.617.png (229.77 KiB) Прегледано 2440 пъти

Точка О е център на вписаната в триъгълника ABC окръжност.Ако АВ=12см и ъгъл АСВ=120 градуса.Намерете дължината на радиуса на описаната около триъгълника AOB окръжност.

Още един поглед върху задачата

Центърът на вписаната окръжност лежи върху пресечната точка на ъглополовящите [tex]\Rightarrow AO , BO[/tex] са ъглополовящи на ъглите $A = \alpha$ и $B = \beta$
Знаеш,че $\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ \Leftrightarrow \alpha + \beta + 120^\circ = 180^\circ \Rightarrow \alpha + \beta = 60^\circ \Rightarrow \frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2} = 30^\circ$
За $\triangle AOB \rightarrow \angle OAB + \angle OBA + \angle AOB = 180^\circ \Leftrightarrow \frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2} + \angle AOB = 180^\circ \Leftrightarrow 30^\circ + \angle AOB = 180^\circ \Rightarrow \angle AOB = 150^\circ$
За $\triangle AOB $ прилагаш Синусова теорема :$\displaystyle\frac{AB}{sin150^\circ} = 2R \Leftrightarrow \displaystyle\frac{12}{\displaystyle\frac{1}{2}} = 2R \Rightarrow R = 12$