Решаване на триъгълник - част от успоредник

[Гост]

Моля за помощ или насоки за следниате две задачи:
1. Даден е успоредник ABCD с ъгъл BAD<90, AB=8, AD=5, BD=7 и DP и DH са височини. Да се намери PH.

(DP и DH ги намирам чрез лице на ABD и DBC. Намерих и че ъгък PDH=BAD, но идея нямам как да продължа)

2.Две от височините в триъгълник са 6 и [tex]\sqrt{3}[/tex] и сключват ъгъл 60. да е намери лицето на тригълника.

[S.B.]

Моля за помощ или насоки за следниате две задачи:
1. Даден е успоредник ABCD с ъгъл BAD<90, AB=8, AD=5, BD=7 и DP и DH са височини. Да се намери PH.

(DP и DH ги намирам чрез лице на ABD и DBC. Намерих и че ъгък PDH=BAD, но идея нямам как да продължа)

Без заглавие - 2021-05-23T092355.170.png (230.41 KiB) Прегледано 813 пъти

За [tex]\triangle ABD[/tex] прилагам Косинусова теорема:
[tex]\cos \alpha = \frac{ DB^{2} - AD^{2} - AB^{2} }{- 2.AD.AB} = \frac{ 7^{2} - 5^{2} - 8^{2} }{-2.5.8} \Leftrightarrow \cos \alpha = \frac{1}{2} \Rightarrow \alpha = 60 ^\circ[/tex]
От [tex]\triangle APD \rightarrow PD = AD.\sin \alpha \Leftrightarrow PD = \frac{5 \sqrt{3} }{2}[/tex]
От [tex]\triangle CDH \rightarrow DH = CD.\sin \alpha \Leftrightarrow DH = \frac{8 \sqrt{3} }{2} \Rightarrow DH = 4 \sqrt{3}[/tex]
[tex]\angle ADP = \angle CDH = 90 ^\circ- \alpha = 30 ^\circ , \angle ADC = 180 ^\circ - \alpha = 120 ^\circ \Rightarrow \angle PDH = 60 ^\circ[/tex]
За [tex]\triangle PDH[/tex] прилагам Косинусова теорема:
[tex]PH^{2} = DP^{2} + DH^{2} - 2.DP.DH.\cos 60 ^\circ = (\frac{5 \sqrt{3} }{2}) ^{2} + (4 \sqrt{3} )^{2} - 2. \frac{5 \sqrt{3} }{2}.4 \sqrt{3}. \frac{1}{2} = .................................[/tex]
Сметките оставям за теб!

[mail_dinko]

Втори метод: хамираме лицето на триъгълника по хероновата ф-ла, после височината
[tex]DP \bot AB : P \in AB[/tex]
[tex]DH = \bot BC; H \in BC[/tex]
[tex]P=AB+AD+BD=20 \Rightarrow p=10[/tex]
[tex]S_{ABD} = \sqrt {10.2.3.5} = 10 \sqrt {3}[/tex]
[tex]S _ {ABD} = \frac {AB. DP}{2} \Rightarrow DP = \frac {2 S _ {ABD}}{AB}= \frac {2 .10 \sqrt {3}}{AB} = \frac 52 \sqrt {3}[/tex]
[tex]AB. P D = DH . BC \Rightarrow DH = \frac {AB.PD}{BC}= \frac {8. \frac 52 {3}}{5} = \sqrt {3}[/tex]

Нататък е същото като S.B.

[S.B.]

Моля за помощ или насоки за следниате две задачи:
2.Две от височините в триъгълник са 6 и [tex]\sqrt{3}[/tex] и сключват ъгъл 60. да е намери лицето на тригълника.

Без заглавие - 2021-05-23T220322.261.png (270.24 KiB) Прегледано 793 пъти

[tex]A A_{1 } \bot BC. B B_{1 } \bot AC , A A_{1 } \cap B B_{1 } = H, \angle AHB = 60 ^\circ \Rightarrow \angle ACB = 120 ^\circ[/tex]
(понеже около четриъгълника [tex]A_{1 }C B_{1 }H[/tex] може да се опише окръжност)

От [tex]\triangle A B_{1 }H \rightarrow \angle HA B_{1 } = 30 ^\circ[/tex]

От [tex]\triangle BA_{1 }H \rightarrow \angle HB A_{1 } = 30 ^\circ[/tex]

За [tex]\triangle AC A_{1 } \rightarrow CA_{1 } = y \Rightarrow AC = 2y ,A A_{1 } = \sqrt{3}[/tex]

Прилагам Питагорова теорема:

[tex]AC^{2} = A_{1 }C ^{2} + A A_{1 } ^{2} \Leftrightarrow (2y)^{2} = y^{2} + ( \sqrt{3}) ^{2} \Rightarrow y = 1, AC = 2[/tex]

За [tex]\triangle BC B_{1 } \rightarrow C B_{1 } = x \Rightarrow BC = 2x,B B_{1 } = 6[/tex]

Прилагам Питагорова теорема:

[tex]BC^{2} = B B_{1 } ^{2} + C B_{1 } ^{2} \Leftrightarrow (2x)^{2} = x^{2} + 6^{2} \Rightarrow x = 2 \sqrt{3} ,BC = 4 \sqrt{3}[/tex]

[tex]S_{ABC } = \frac{AC.BC}{2}.\sin \angle C \Leftrightarrow S_{ABC } = \frac{2.4 \sqrt{3} }{2} \frac{ \sqrt{3} }{2} = 6[/tex]