Синусова и косинусова теорема

[Меди]

За $\triangle ABC$ е дадено, че $BC=12\sqrt{2}$ $cm,\measuredangle ACB=30^\circ$ и дължината на радиуса на описаната около триъгълника окръжност е $12$ $cm$. Намерете дължината на страната $AC$.
А) $12\sqrt{3}$ $cm$
Б) $12$ $cm$
В) $6\sqrt3$ $cm$
Г) $6$ $cm$

За верен отговор са дали отг. Б) $AC=12$ $cm$. Аз не успявам да го получа.
Първо от синусовата теорема за дължината на $AB$ имаме $$AB=c=2R\sin\gamma=2.12.\dfrac12=12.$$ Триъгълникът ни е известен по две страни и ъгъл срещу по-малката, затова трябва да очакваме, че за третата страна ще получим два отговора. От косинусовата теорема (при стандартни означения) $$c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma\\144=144.2+b^2-2.12\sqrt{2}.b.\dfrac{\sqrt{3}}{2}$$ След опростяване стигнах до квадратното уравнение $$b^2-12\sqrt{6}b+144=0$$ с корени $b_{1,2}=6\sqrt{6}\pm6\sqrt{2}$. Необходимо ли е сега да проверим дали за всяка от тези стойности за третата страна съществува триъгълника? Не получихме нито един от дадените отговори.

Благодаря Ви!

[peyo]

За $\triangle ABC$ е дадено, че $BC=12\sqrt{2}$ $cm,\measuredangle ACB=30^\circ$ и дължината на радиуса на описаната около триъгълника окръжност е $12$ $cm$. Намерете дължината на страната $AC$.
А) $12\sqrt{3}$ $cm$
Б) $12$ $cm$
В) $6\sqrt3$ $cm$
Г) $6$ $cm$

За верен отговор са дали отг. Б) $AC=12$ $cm$. Аз не успявам да го получа.
...

Нищо чудно, това не е верния отговор. С точно построение в geogebra получаваме 23.1822198309:

geogebra-export(17).png (491.63 KiB) Прегледано 776 пъти

[S.B.]

За $\triangle ABC$ е дадено, че $BC=12\sqrt{2}$ $cm,\measuredangle ACB=30^\circ$ и дължината на радиуса на описаната около триъгълника окръжност е $12$ $cm$. Намерете дължината на страната $AC$.
А) $12\sqrt{3}$ $cm$
Б) $12$ $cm$
В) $6\sqrt3$ $cm$
Г) $6$ $cm$

Прилагам Синусова теорема:
[tex]\frac{BC}{\sin \alpha } = 2R \Leftrightarrow \frac{12 \sqrt{2} }{\sin \alpha } = 24 \Rightarrow \sin \alpha = \frac{ \sqrt{2} }{2} \Rightarrow \alpha = 45 ^\circ[/tex]

От [tex]\begin{cases} \gamma = 30 ^\circ \\ \alpha = 45 ^\circ \\ \alpha + \beta + \gamma = 180 ^\circ \end{cases} \rightarrow \beta = 105 ^\circ[/tex]

[tex]\sin 105 ^\circ = \sin(60 ^\circ + 45 ^\circ) = \sin 60 ^\circ \cos 45 ^\circ + sin 45 ^\circ \cos 60 ^\circ = \frac{ \sqrt{3} }{2} \frac{ \sqrt{2} }{2} + \frac{1}{2} \frac{ \sqrt{2} }{2} = \frac{ \sqrt{2} }{4}( \sqrt{3} + 1)[/tex]

Прилагам Синусова теорема:
[tex]\displaystyle\frac{AC}{\sin \beta } = 2R \Leftrightarrow \displaystyle\frac{AC}{\displaystyle \frac{ \sqrt{2} }{4}( \sqrt{3} + 1)} = 24 \Rightarrow AC = 24.\displaystyle \frac{ \sqrt{2} }{4} ( \sqrt{3} + 1)[/tex]
$$AC = 6 \sqrt{2}( \sqrt{3}+ 1) $$
Според мен има техническа грешка и дадените отговори не кореспондират с условието на тази задача.И друг път се е случвало.