Успоредник, триъгълник и призма

[Гост]

Здравейте, съфорумци! Днес правихме класно по математика (моята тема беше взета от списание "Математика" тест 3 ). Та да стигна до въпроса си, даден е успоредник ABCD с диагонал АС = 7, AB = 5 и [tex]\angle BAD = 60 ^\circ[/tex]. Да се намери:
А) Лицето на [tex]ABCD[/tex] и отношението на радиуса на вписаната към радиуса на описаната окръжност на [tex]\triangle ABC[/tex].
Б) Ако този успоредник е основа на права призма с телесен диагонал AC1 = 17, да се намери обема на призмата?

Та моите разсъждения:
A) 1. Cos Th в [tex]\triangle ABC[/tex], откъдето BC = 3
2. Намирам лицето на успоредника чрез формулата [tex]S = a×b×sin \alpha[/tex], откъдето намерих [tex]\frac{15 \sqrt{3} }{2}[/tex]
3. Чрез формулата [tex]S = p×r[/tex] намерих, че r = [tex]\frac{ \sqrt{3} }{2}[/tex]
4. В триъгълник АВС използвах синусова теорема, според която: [tex]AC = 2R×sin120 ^\circ
\Rightarrow R = \frac{7 \sqrt{3} }{2}[/tex]
5. Намирам отношението [tex]\frac{3}{14}[/tex]

Та въпросът ми е правилни ли са тези числени стойности? Благодаря предварително за отговора!

[ptj]

Решението ти е нерационално и грешно още от началото ([tex]BC \ne 3)[/tex].

Не ти трябва косинусова теорема за да намериш лицето на успоредника,

защото ще се наложи да решиш [tex]7^2=5^2+BC^2-2.5.BC.cos120 ^\circ[/tex].

[tex]S_{ABCD}=2.S_{ABC}=2. \frac{5.7.sin(30 ^\circ )}{2}= \frac{35}{2}=17,5[/tex]

Намирането на [tex]R[/tex] отново ти е грешно. Правилно си записал синусова теорема, но при минаването към числа си оплескал всичко. Правилния отговор е [tex]\frac{7}{ \sqrt{3} }.[/tex]

Колкото до намирането на r - не съм сигурен какво е авторовото решение. Лично на мен - минаването през косинусова теорема и използването на [tex]S=p.r[/tex] не ми харесва, защото се получават радикали (подбирането на числата в задачата не е добро).

Всъщност за първата част (намирането на [tex]p[/tex]) e по-удачно да се използва [tex]S=\frac{a.b.c}{4R}[/tex], т.е.

[tex]\frac{35}{4} = \frac{5.7.c}{4.R} \Rightarrow c=R= \frac{7}{ \sqrt{3} }= \frac{7 \sqrt{3} }{3}\Rightarrow p= \frac{36+7 \sqrt{3} }{6}[/tex]
...

Височинaта в призмата ти е : [tex]h=\sqrt{17^2-7^2}= \sqrt{240}=4 \sqrt{15}[/tex].

Обема й е: [tex]V=S.h= \frac{35}{2}.4 \sqrt{15}=70 \sqrt{15}[/tex]

[S.B.]

Здравейте, съфорумци! Днес правихме класно по математика (моята тема беше взета от списание "Математика" тест 3 ). Та да стигна до въпроса си, даден е успоредник ABCD с диагонал АС = 7, AB = 5 и [tex]\angle BAD = 60 ^\circ[/tex]. Да се намери:
А) Лицето на [tex]ABCD[/tex] и отношението на радиуса на вписаната към радиуса на описаната окръжност на [tex]\triangle ABC[/tex].
Б) Ако този успоредник е основа на права призма с телесен диагонал AC1 = 17, да се намери обема на призмата?

Та моите разсъждения:
A) 1. Cos Th в [tex]\triangle ABC[/tex], откъдето BC = 3
2. Намирам лицето на успоредника чрез формулата [tex]S = a×b×sin \alpha[/tex], откъдето намерих [tex]\frac{15 \sqrt{3} }{2}[/tex]
3. Чрез формулата [tex]S = p×r[/tex] намерих, че r = [tex]\frac{ \sqrt{3} }{2}[/tex]
4. В триъгълник АВС използвах синусова теорема, според която: [tex]AC = 2R×sin120 ^\circ
\Rightarrow R = \frac{7 \sqrt{3} }{2}[/tex]
5. Намирам отношението [tex]\frac{3}{14}[/tex]

Та въпросът ми е правилни ли са тези числени стойности? Благодаря предварително за отговора!

Да,всичко е точно с изключение на [tex]R = \frac{ 7\sqrt{3} }{2}[/tex]
От Синусова теорема,която използваш:
[tex]\displaystyle\frac{AC}{\sin 120 ^\circ } = 2R \Leftrightarrow \displaystyle\frac{7}{\displaystyle \frac{ \sqrt{3} }{2} } = 2R \Leftrightarrow\displaystyle \frac{14}{ \sqrt{3} } = 2R \Leftrightarrow R = \displaystyle\frac{7}{ \sqrt{3} } = \displaystyle\frac{7 \sqrt{3} }{3} \ne \displaystyle\frac{7 \sqrt{3} }{2}[/tex]
Но тъй като отношението [tex]\frac{r}{R} = \frac{3}{14}[/tex] е вярно, предполагам ,че си допуснал техническа грешка при въвеждането.
Не е добре,че не си разгледал стереометричната част на задачата! Тя е най лесна!
От правоъгълния [tex]\triangle AC C_{1 }[/tex] по Питагорова теорема намираш височината на призмата [tex]CC_{1 } = \sqrt{ 17^{2} - 7^{2} } = 4 \sqrt{15}[/tex]
Тогава [tex]V = C C_{1 }. S_{ABCD } \Leftrightarrow V = 4 \sqrt{15}. \frac{15 \sqrt{3} }{2} \Rightarrow V = 90 \sqrt{5}[/tex]

[S.B.]

Решението ти е нерационално и грешно още от началото ([tex]BC \ne 3)[/tex].

Не ти трябва косинусова теорема за да намериш лицето на успоредника,

защото ще се наложи да решиш [tex]7^2=5^2+BC^2-2.5.BC.cos120 ^\circ[/tex].

[tex]S_{ABCD}=2.S_{ABC}=2. \frac{5.7.sin(30 ^\circ )}{2}= \frac{35}{2}=17,5[/tex]

Намирането на [tex]R[/tex] отново ти е грешно. Правилно си записал синусова теорема, но при минаването към числа си оплескал всичко. Правилния отговор е [tex]\frac{7}{ \sqrt{3} }.[/tex]

Колкото до намирането на r - не съм сигурен какво е авторовото решение. Лично на мен - минаването през косинусова теорема и използването на [tex]S=p.r[/tex] не ми харесва, защото се получават радикали (подбирането на числата в задачата не е добро).

Всъщност за първата част (намирането на [tex]p[/tex]) e по-удачно да се използва [tex]S=\frac{a.b.c}{4R}[/tex], т.е.

[tex]\frac{35}{4} = \frac{5.7.c}{4.R} \Rightarrow c=R= \frac{7}{ \sqrt{3} }= \frac{7 \sqrt{3} }{3}\Rightarrow p= \frac{36+7 \sqrt{3} }{6}[/tex]
...

Височинaта в призмата ти е : [tex]h=\sqrt{17^2-7^2}= \sqrt{240}=4 \sqrt{15}[/tex].

Обема й е: [tex]V=S.h= \frac{35}{2}.4 \sqrt{15}=70 \sqrt{15}[/tex]

Уважаеми колега ptj,
Предполагам,че сте се объркали и сте приели,че става въпрос за ромб, а не за обикновен успоредник,тъй като при ромба диагоналите се явяват и ъглополовящи,но не и при обикновения успоредник.Нямате никакво основание да считате,че [tex]\angle CAB = \frac{1}{2} \angle BAD = \frac{1}{2}60 ^\circ = 30 ^\circ[/tex],от където [tex]S_{ABC } \ne \frac{7.5}{2}.\sin 30 ^\circ[/tex]
Нищо лично!

[ptj]

Да, имам грешка в първоначалния вариант.
Всъщност се чудех защо ми се получават две различни стойности за страната, но после смених ъгъла само в косинусова теорема и не видях, че съм използвал невярната му стойност и във формулата за лице. Благодаря за корекцията.

[Гост]

Здравейте, съфорумци! Днес правихме класно по математика (моята тема беше взета от списание "Математика" тест 3 ). Та да стигна до въпроса си, даден е успоредник ABCD с диагонал АС = 7, AB = 5 и [tex]\angle BAD = 60 ^\circ[/tex]. Да се намери:
А) Лицето на [tex]ABCD[/tex] и отношението на радиуса на вписаната към радиуса на описаната окръжност на [tex]\triangle ABC[/tex].
Б) Ако този успоредник е основа на права призма с телесен диагонал AC1 = 17, да се намери обема на призмата?

Та моите разсъждения:
A) 1. Cos Th в [tex]\triangle ABC[/tex], откъдето BC = 3
2. Намирам лицето на успоредника чрез формулата [tex]S = a×b×sin \alpha[/tex], откъдето намерих [tex]\frac{15 \sqrt{3} }{2}[/tex]
3. Чрез формулата [tex]S = p×r[/tex] намерих, че r = [tex]\frac{ \sqrt{3} }{2}[/tex]
4. В триъгълник АВС използвах синусова теорема, според която: [tex]AC = 2R×sin120 ^\circ
\Rightarrow R = \frac{7 \sqrt{3} }{2}[/tex]
5. Намирам отношението [tex]\frac{3}{14}[/tex]

Та въпросът ми е правилни ли са тези числени стойности? Благодаря предварително за отговора!

Да,всичко е точно с изключение на [tex]R = \frac{ 7\sqrt{3} }{2}[/tex]
От Синусова теорема,която използваш:
[tex]\displaystyle\frac{AC}{\sin 120 ^\circ } = 2R \Leftrightarrow \displaystyle\frac{7}{\displaystyle \frac{ \sqrt{3} }{2} } = 2R \Leftrightarrow\displaystyle \frac{14}{ \sqrt{3} } = 2R \Leftrightarrow R = \displaystyle\frac{7}{ \sqrt{3} } = \displaystyle\frac{7 \sqrt{3} }{3} \ne \displaystyle\frac{7 \sqrt{3} }{2}[/tex]
Но тъй като отношението [tex]\frac{r}{R} = \frac{3}{14}[/tex] е вярно, предполагам ,че си допуснал техническа грешка при въвеждането.
Не е добре,че не си разгледал стереометричната част на задачата! Тя е най лесна!
От правоъгълния [tex]\triangle AC C_{1 }[/tex] по Питагорова теорема намираш височината на призмата [tex]CC_{1 } = \sqrt{ 17^{2} - 7^{2} } = 4 \sqrt{15}[/tex]
Тогава [tex]V = C C_{1 }. S_{ABCD } \Leftrightarrow V = 4 \sqrt{15}. \frac{15 \sqrt{3} }{2} \Rightarrow V = 90 \sqrt{5}[/tex]

Благодаря много за отговора! Относно стереометричната част не съм я коментирал, тъй като нямах колебания за отговорите, които получих.