Геометрична/Тригонометрична задача за 10 клас

[UncleSpoon]

Здравейте, знае ли някой как се решава следната задача:
В остроъгълен [tex]\triangle ABC[/tex] са построени височините [tex]AA_{1 }[/tex] и [tex]BB_{1 }[/tex]. Ако [tex]A_{1 } B_{1 }[/tex] = 3 dm и [tex]AB[/tex]= 6 dm, то радиусът на описаната около [tex]\triangle A_{1 } B_{1 }C[/tex] окръжност е:

[S.B.]

Здравейте, знае ли някой как се решава следната задача:
В остроъгълен [tex]\triangle ABC[/tex] са построени височините [tex]AA_{1 }[/tex] и [tex]BB_{1 }[/tex]. Ако [tex]A_{1 } B_{1 }[/tex] = 3 dm и [tex]AB[/tex]= 6 dm, то радиусът на описаната около [tex]\triangle A_{1 } B_{1 }C[/tex] окръжност е:

Без заглавие - 2021-06-07T063654.947.png (211.7 KiB) Прегледано 831 пъти

[tex]A A_{1 } \bot BC , B B_{1 } \bot AC \Rightarrow[/tex] точките [tex]A_{1 } , B_{1 }[/tex] лежат на окръжност с диаметър $AB = 6$ (т.е. отсечката $AB$ се вижда под ъгъл [tex]90 ^\circ[/tex] от точките [tex]A_{1 }, B_{1 }[/tex])
[tex]\triangle BB_{1 }C[/tex] е правоъгълен и ако [tex]\angle C = \gamma \rightarrow \angle B_{1 }BC = 90 ^\circ - \gamma[/tex]
За [tex]\triangle A_{1 } B_{1 }B[/tex] прилагам Синусова теорема:
[tex]\frac{ A_{1 } B_{1 } }{\sin \angle A_{1 } B B_{1 } } = 2R \Leftrightarrow \frac{3}{\sin (90 ^\circ - \gamma )}= 6 \Leftrightarrow \frac{1}{\sin(90 ^\circ - \gamma) } = 2 \Rightarrow \sin (90 ^\circ - \gamma) = \frac{1}{2} \Rightarrow[/tex]
[tex]\angle A_{1 }B B_{1 } = 30 ^\circ \Rightarrow \gamma = \angle C = 60 ^\circ[/tex]
За [tex]\triangle A_{1 } B_{1 } C[/tex] прилагам Синусова теорема:
[tex]\displaystyle\frac{ A_{1 } B_{1 } }{\sin \gamma } = 2R \Leftrightarrow \displaystyle\frac{3}{\sin 60 ^\circ } = 2R \Leftrightarrow \displaystyle \frac{3}{\displaystyle \frac{ \sqrt{3} }{2} } = 2R \Rightarrow R = \sqrt{3}[/tex]

[UncleSpoon]

Много благодаря за ясното обяснение!
У нас налучкахме, че [tex]\angle \gamma[/tex] = 60[tex]^\circ[/tex] (вече знаехме, че търсим него, за да намерим радиуса на описаната около [tex]\triangle A_{1 } B_{1 } C[/tex] окръжност чрез синусова теорема), благодарение на това, че [tex]A B[/tex] = [tex]2A_{1 } B_{1 }[/tex] и че четирите точки са описани на една окръжност. Има ли някакво правило, свързано с големината на външен ъгъл в зависимост от хордите, които той образува в окръжността с пресечните си точки (и има ли връзка това с диаметъра)?

[S.B.]

Много благодаря за ясното обяснение!
.....Има ли някакво правило, свързано с големината на външен ъгъл в зависимост от хордите, които той образува в окръжността с пресечните си точки (и има ли връзка това с диаметъра)?

Поне аз лично не знам да съществува такова правило.Вие сте налучкали,че [tex]\gamma = 60 ^\circ[/tex] от даденият Ви верен отговор на задачата и големината на [tex]A_{1 } B_{1 }[/tex]
Моето решение не е въпрос на едно добро хрумване.Правило е ,че когато имате отсечка,която свързва петите на височините , страната от вашия триъгълник ,която лежи срещу тази отсечка се "вижда" от тези пети под [tex]\angle 90 ^\circ[/tex] Опишете тази окръжност с диаметър тази страна и после да разсъждавайте.

[UncleSpoon]

Разбирам, отново благодаря!