Лице на триъгълник

[Гост]

Може ли помощ за 17 задача подточка б)?

[KOPMOPAH]

Ето един малко дълъг начин (малко ли? ), но това ми хрумна на първо четене.

1. Намираме лицето на $\triangle ABC$ по Херонова формула $$S=\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}$$
2. Намираме височините $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ чрез лицето$$AA_1=\frac{2S}{BC}=...$$
3. След като намерихме височините, по Питагорова теорема намираме $AC_1$, $BA_1$, $CB_1$, а оттам - и $BC_1$, $CA_1$ и $AB_1$

4. Косинусите на ъглите са намерени в подточка а), правим три косинусови теореми за $\triangle AB_1C_1$, $\triangle A_1B_1C$ и $\triangle A_1BC_1$, откъдето намираме страните на $\triangle A_1B_1C_1$

5. И накрая още една Херонова формула за $\triangle A_1B_1C_1$, чиито страни току-що сме намерили.

[Knowledge Greedy]

Ако [tex]\gamma[/tex] е ъгълът при върха [tex]C[/tex] ( най-големият ъгъл) [tex]cos\gamma = \frac{1}{4}[/tex] - по косинусова теорема
и
заради подобието [tex]\triangle A_1B_1C\approx \triangle ABC[/tex], с коефициент на подобие [tex]\frac{CA_1}{CA}=cos \gamma[/tex], следва [tex]A_1B_1=\frac{1}{4} AB= \frac{7}{4}[/tex]
Аналогично
[tex]A_1C_1=\frac{5}{7} AC= \frac{25}{7}[/tex]
и
[tex]C_1B_1=\frac{19}{35} CB= \frac{19}{35}.6[/tex]
Така периметърът в б) малко по-кратко се получава [tex]P=1\frac{3}{4}+3 \frac{9}{35}+3 \frac{4}{7} =8 \frac{81}{140}[/tex]

[S.B.]

Без заглавие - 2021-06-08T104053.400.png (290.37 KiB) Прегледано 928 пъти

Доколкото разбирам от условието на задачата , търси се лицето на [tex]\triangle A_{1 } B_{1 } C_{1 }[/tex], върховете на който са петите на височините на [tex]\triangle ABC[/tex] със страни $AB = 7, AC = 5 , BC = 6$

[tex]S_{ A_{1 } B_{1 } C_{1 } } = S_{ABC } - ( S_{ A_{1 } B_{1 }C } + S_{ A_{1 } C_{1 }B } + S_{ C_{1 } B_{1 }A })[/tex]

Като приложиш Косинусова теорема намираш косинусите на ъглите и съответно синусите:
[tex]\cos \gamma = \frac{1}{5} \Rightarrow \sin \gamma = \frac{2 \sqrt{6} }{5}[/tex]
[tex]\cos \beta = \frac{5}{7} \Rightarrow \sin \beta = \frac{2 \sqrt{6} }{7}[/tex]
[tex]\cos \alpha = \frac{19}{35} \Rightarrow \sin \alpha = \frac{12 \sqrt{6} }{35}[/tex]

Намираш частите на които петите на височините делят страните по следният начин:
Като пример намирам отсечките [tex]B_{1 }C[/tex] и [tex]B_{1 }A[/tex]:
От[tex]\triangle B B_{1 }C \rightarrow \frac{ B_{1 }C }{BC} = \cos \gamma \Leftrightarrow B_{1 }C = BC.\cos \gamma \Rightarrow B_{1 }C = \frac{6}{5} \Rightarrow A B_{1 } = 5 - \frac{6}{5} = \frac{19}{5}[/tex]
Така намираш дължините всички отсечки - стойностите им са изписани на чертежа.
Лицата на всички триъгълници намираш по формулата:[tex]S_{ \triangle } = \frac{a.b}{2}.\sin \varphi[/tex] ,където [tex]\varphi[/tex] е ъгълът между страните.
Оставям ти самостоятелно да довършиш задачата!Успех!