Успоредник

[Гост]

Здравейте! Имам питане по следната задача, тъй като изпитвам големи трудности с нейното решение. Даден е успоредник със страни 6 и 2, известно е още че ъгълът между диагоналите е 45 [tex]^\circ[/tex]. Да се намери лицето? Благодаря ви предварително!

[ammornil]

Диагоналите на успоредника се разполовяват от пресечната си точка.
Нека [tex]AO=OC=x \Rightarrow AC=2x, BO=OD=y \Rightarrow BD=2y[/tex]
[tex]\angle AOB= 180 ^\circ - \angle BOC = 135 ^\circ[/tex]
[tex]cos45 ^\circ =\frac{\sqrt{2}}{2}, cos135 ^\circ =cos(90 ^\circ +45 ^\circ )=-sin45 ^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex]
[tex]\triangle AOB к.т.: x^2+y^2-2xycos135 ^\circ =6^2[/tex]
[tex]\triangle BOC к.т.: x^2+y^2-2xycos45 ^\circ =2^2[/tex]
Ако извадим от първото уравнение второто, получаваме
[tex]-2xycos135 ^\circ +2xycos45 ^\circ =32 \Rightarrow -2xy. \left ( - \frac{\sqrt{2}}{2} \right ) + 2xy.\frac{\sqrt{2}}{2} = 32 \Rightarrow 2\sqrt{2}xy=32 \Rightarrow xy=8\sqrt{2}[/tex]
[tex]S_{_{ABCD}}=\frac{AC.BD.sin\angle BOC}{2}=\frac{\cancel{2}x.\cancel{2}y.\frac{\sqrt{2}}{\cancel{2}}}{\cancel{2}}=\sqrt{2}.xy=\sqrt{2}.8\sqrt{2}=16[/tex]

Прегледай сметките, да не съм объркал нещо, но начинът е това.
[tex][/tex]