Радиуси в равнобедрен триъгълник

[alekseft]

Здравейте,

Помогнете със следната задача:

За равнобедрения [tex]\triangle[/tex]ABC е дадено, че ъгълът срещу основата е с мярка [tex]2\alpha[/tex] и радиусът на вписаната окръжност е [tex]r[/tex]. Намерете радиуса на описаната окръжност [tex]R[/tex].

[Davids]

Нека бедрата кръстим $a$, а основата - $c$. Ъгълът срещу основата е $2\alpha$, следователно ъглите при основата са равни на $90 - \alpha$
По синусова теорема имаме: $\frac{a}{\cos\alpha} = \frac{c}{\sin2\alpha} = 2R \Longrightarrow$
[tex]\begin{array}{|l} a = 2R\cos\alpha \\ c = 2R\sin2\alpha = 4R\sin\alpha\cos\alpha = 2a\sin\alpha \end{array}[/tex]

За лицето на триъгълника знаем двете формули: $S = pr = \frac{a^2\sin2\alpha}{2}$, където можем да изразим $p = \frac{2a + c}{2} = a(1+\sin\alpha)$ и замествайки в равенството от двете формули, получаваме:
$ar(1 + \sin\alpha) = \frac{a^2\sin2\alpha}{2} \Longrightarrow a = \frac{2r(1+\sin\alpha)}{\sin2\alpha}$

Връщайки се на известното ни от синусовата теорема $\boxed{R = \frac{a}{2\cos\alpha} = \frac{r(1+\sin\alpha)}{\cos\alpha\sin2\alpha}}$

[S.B.]

Здравейте,

Помогнете със следната задача:

За равнобедрения [tex]\triangle[/tex]ABC е дадено, че ъгълът срещу основата е с мярка [tex]2\alpha[/tex] и радиусът на вписаната окръжност е [tex]r[/tex]. Намерете радиуса на описаната окръжност [tex]R[/tex].

Без заглавие - 2021-06-13T163554.865.png (246.02 KiB) Прегледано 933 пъти

И още един по-различен поглед върху задачата:
За [tex]\triangle OTC \rightarrow CT = r\cotg \alpha , OC = \frac{r}{\sin \alpha }[/tex]
За [tex]\triangle HBC \rightarrow HC = OC + r \Leftrightarrow HC = \frac{r(1 + \sin \alpha )}{b\sin \alpha }, HB = \frac{AB}{2} = x[/tex]

[tex]\triangle HBC \approx \triangle OTC \rightarrow \displaystyle\frac{HB}{OT} = \displaystyle\frac{CH}{CT} \Leftrightarrow \displaystyle \frac{x}{r} = \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{r(1 + \sin \alpha )}{\sin \alpha } }{r\cotg \alpha } \Leftrightarrow x = r. \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{1 + \sin \alpha }{\sin \alpha } }{\displaystyle \frac{\cos \alpha }{\sin \alpha } } \Rightarrow x = r. \displaystyle \frac{1 + \sin \alpha }{\cos \alpha }[/tex]
За [tex]\triangle ABC[/tex] прилагам Синусова теорема:
[tex]\frac{AB}{\sin 2 \alpha } = 2R \Leftrightarrow \frac{2r(1 + \sin \alpha )}{\cos \alpha.\sin 2 \alpha } = 2R \Rightarrow[/tex]
$$R = \frac{1 + \ sin \alpha }{\sin 2 \alpha \cos \alpha } $$

[alekseft]

Отговорът на задачата е [tex]r\frac{cotg(45 ^\circ - \frac{ \alpha }{2} )}{sin2 \alpha }[/tex].
Как се стига до отговора?

[Евва]

Получих посочения отговор ,но чак утре мога да пусна решението си .

[Davids]

Получих посочения отговор ,но чак утре мога да пусна решението си .

Ами те са равни (оставяме за упражнение на читателя), така че имаме още един в клуба на правилните отговори

[123a]

От чертежа на S.B в [tex]\triangle AOH[/tex]много по- кратко може да се направи отношениeто [tex]\frac{2r}{x}=tg(45- \frac{ \alpha }{2})=>x=2r.cotg(45- \frac{ \alpha }{2})[/tex], където x е основата на триъгълника.

Тогава имаме [tex]\frac{x}{sin2 \alpha }=2R=>R=r. \frac{cotg(45- \frac{ \alpha }{2}) }{sin2 \alpha }[/tex]

[Евва]

Скрит текст: покажи

При моето решение не е нужно да се прави чертеж .Дано сте учили формулите :

[tex]S_{ \triangle }[/tex]=[tex]r^{2}[/tex]cotg[tex]\frac{ \alpha }{2}[/tex].cotg[tex]\frac{ \beta }{2}[/tex].cotg[tex]\frac{ \gamma }{2}[/tex] и
[tex]S_{ \triangle }[/tex]=2[tex]R^{2}[/tex]sin[tex]\alpha[/tex].sin[tex]\beta[/tex].sin[tex]\gamma[/tex]

Според тази задача добиват следния вид .
[tex]r^{2}[/tex]cotg(45[tex]^\circ[/tex]-[tex]\frac{ \alpha }{2}[/tex])cotg(45[tex]^\circ[/tex]-[tex]\frac{ \alpha }{2}[/tex])cotg[tex]\alpha[/tex]=2[tex]R^{2}[/tex]sin(90[tex]^\circ[/tex]-[tex]\alpha[/tex])sin(90[tex]^\circ[/tex]-[tex]\alpha[/tex])sin2[tex]\alpha[/tex]

r.cotg(45[tex]^\circ[/tex]-[tex]\frac{ \alpha }{2}[/tex])[tex]\sqrt{cotg \alpha }[/tex]=[tex]\sqrt{2}[/tex]R.sin(90[tex]^\circ[/tex]-[tex]\alpha[/tex])[tex]\sqrt{sin2 \alpha }[/tex]

R=r.[tex]\frac{cotg(45 ^\circ- \frac{ \alpha }{2} ) \frac{ \sqrt{cos \alpha } }{ \sqrt{sin \alpha } } }{ \sqrt{2}cos \alpha \sqrt{2sin \alpha.cos \alpha } }[/tex]

R=r.[tex]\frac{cotg(45 ^\circ- \frac{ \alpha }{2}) }{2cos \alpha.sin \alpha }[/tex]

R=[tex]\frac{rcotg(45 ^\circ- \frac{ \alpha }{2}) }{sin2 \alpha }[/tex]

[S.B.]

За [tex]\triangle ABC[/tex] прилагам Синусова теорема:
[tex]\frac{AB}{\sin 2 \alpha } = 2R \Leftrightarrow \frac{2r(1 + \sin \alpha )}{\cos \alpha.\sin 2 \alpha } = 2R \Rightarrow[/tex]
$$R = \frac{1 + \ sin \alpha }{\sin 2 \alpha \cos \alpha } $$

Очевидно е ,че съм допуснала техническа грешка:

От [tex]\frac{2r(1 + \sin \alpha) }{\sin 2 \alpha\cos \alpha} = 2R \Rightarrow \frac{r(1 + \sin \alpha )}{sin 2 \alpha \cos \alpha } = R[/tex]

За да отпаднат съмненията Ви относно верността на отговорите (моя и на колегата Davids),Ви предлагам преработката на тригонометричния израз:[tex]\frac{1 + \sin \alpha }{\cos \alpha }[/tex]
[tex]R = \frac{r(1 + \sin \alpha) }{\sin 2 \alpha\cos \alpha } = \frac{r}{\sin 2 \alpha }. \frac{1 + \sin \alpha }{\cos \alpha }[/tex]

[tex]\frac{1 + \sin \alpha }{\cos \alpha } = \frac{ \sin^{2} \frac{ \alpha }{2} + \cos^{2} \frac{ \alpha }{2} +2\sin \frac{ \alpha }{2}\cos \frac{ \alpha }{2} }{ \cos^{2} \frac{ \alpha }{2} - \sin^{2} \frac{ \alpha }{2} } = \frac{ (\sin \frac{ \alpha }{2}+ \cos \frac{ \alpha }{2}) ^{2} }{(\cos \frac{ \alpha }{2}- \sin \frac{ \alpha }{2})(\cos \frac{ \alpha }{2} + \sin \frac{ \alpha }{2}) } = \frac{\sin \frac{ \alpha }{2} + \cos \frac{ \alpha }{2} }{\cos \frac{ \alpha }{2} - \sin \frac{ \alpha }{2} } =[/tex]

[tex]= \frac{\cos(90 ^\circ - \frac{ \alpha }{2}) - \cos \frac{ \alpha }{2} }{\cos \frac{ \alpha }{2} -\cos(90 ^\circ - \frac{ \alpha }{2}) } = \frac{2\cos \frac{90 ^\circ- \frac{ \alpha }{2} + \frac{ \alpha }{2} }{2}\cos \frac{90 ^\circ - \frac{ \alpha }{2} - \frac{ \alpha }{2} }{2} }{-2\sin \frac{ \frac{ \alpha }{2}+90 ^\circ - \frac{ \alpha }{2} }{2}\sin \frac{ \frac{ \alpha }{2}-90 ^\circ +\frac{ \alpha }{2} }{2} } = \frac{2\cos 45 ^\circ \cos(45 ^\circ - \frac{ \alpha }{2}) }{-2\sin 45 ^\circ\sin( \frac{ \alpha }{2} - 45 ^\circ) } =[/tex]

[tex]= \frac{2 \frac{ \sqrt{2} }{2} \cos(45 ^\circ - \frac{ \alpha }{2}) }{2 \frac{ \sqrt{2} }{2}\sin(45 ^\circ - \frac{ \alpha }{2} )} = cotg(45 ^\circ- \frac{ \alpha }{2})[/tex]
Получихме, че [tex]R = \frac{r}{sin 2 \alpha } \frac{1 + sin \alpha }{\cos \alpha } \Leftrightarrow R = \frac{r}{\sin 2 \alpha }.\cotg(45 ^\circ - \frac{ \alpha }{2})[/tex]
С което предполагам,че всички съмнения относно достоверността на моя и на колегата Davids отговори са отпаднали

[S.B.]

[tex]= \frac{\cos(90 ^\circ - \frac{ \alpha }{2}) - \cos \frac{ \alpha }{2} }{\cos \frac{ \alpha }{2} -\cos(90 ^\circ - \frac{ \alpha }{2}) } =[/tex]

Допуснала съм техническа грешка ,да се чете:

[tex]= \frac{\cos(90 ^\circ - \frac{ \alpha }{2}) + \cos \frac{ \alpha }{2} }{\cos \frac{ \alpha }{2} - \cos(90 ^\circ - \frac{ \alpha }{2}) } =[/tex]

[alekseft]

Благодаря!