Комбинирана задача с аритметична и геометрична прогресия

[Гост]

Може ли помощ?

[S.B.]

Първоначално зададената геометрична прогресия:
[tex]\frac{..}{..} a , aq , aq^{2}[/tex]

Получената аритметична прогресия:
[tex]\div a , aq + 4 ,a q^{2} \Rightarrow 2(aq + 4) = a + a q^{2}[/tex] (от свойството на аритметичната прогресия)

Новата геометрична прогресия:
[tex]\frac{..}{..} а , аq + 4 , a q^{2} + 32 \Rightarrow (aq + 4)^{2} = a.(a q^{2} + 32)[/tex] (от свойството на геометричната прогресия)

Образуваш системата:

[tex]\begin{array}{|l} 2(aq + 4) = a + a q^{2} \\ (aq +4)^{2} = a.(a q^{2} + 32) \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} a(1 - 2q + q^{2}) = 8 \\ a(4 - q) = 2 \end{array}[/tex]

Делиш почленно първото на второто уравнение:

[tex]\frac{a(1 - 2q + q^{2}) }{a(4 - q)} = \frac{8}{2} \Leftrightarrow \frac{1 - 2q + q^{2} }{4 - q} = 4 \Leftrightarrow q^{2} + 2q -15 = 0 ,D = 64 , q_{1,2 } = \frac{-2 \pm 8 }{2}[/tex]
[tex]q_{1 } = -5<1[/tex] (не е решение ,защото прогресията трябва да е растяща)
[tex]q_{2 } = 3 > 1[/tex]
[tex]a(4 -q) = 2 \Leftrightarrow a(4 - 3) = 2 \Rightarrow a = 2[/tex]

Търсените числа са:$$2,6,18$$