Числови редици

[Wiktor]

Взех тази задача от сборник за подготовка за НВО след 10 клас. Задачата изглежда елементарна, но проблемът е, че не съм решавал подобни задачи преди. Поради тази причина се обръщам тук.

Условие:
Ако n e eстествено число, решете уравнението:
[tex]\frac{n-1}{n}+ \frac{n-2}{n}+ ... + \frac{1}{n} = 4[/tex]

[Jack]

Взех тази задача от сборник за подготовка за НВО след 10 клас. Задачата изглежда елементарна, но проблемът е, че не съм решавал подобни задачи преди. Поради тази причина се обръщам тук.

Условие:
Ако n e eстествено число, решете уравнението:
[tex]\frac{n-1}{n}+ \frac{n-2}{n}+ ... + \frac{1}{n} = 4[/tex]

$\frac{n - 1}{n} + \frac{n - 2}{n} + ... + \frac{1}{n} = 1 - \frac{1}{n} + 1 - \frac{2}{n} + ... + 1 - \frac{n - 1}{n}$

Сборът на числата от $1$ до $n - 1$ е $\frac{(n - 1)n}{2}$. [tex]\Rightarrow[/tex]

$n - 1 - \frac{(n - 1)n : 2}{n} = n - 1 - \frac{n - 1}{2} = \frac{2n - 2}{2} - \frac{n - 1}{2} = \frac{2n - 2 - n + 1}{2} = 4$

$n = 9$

[Hephaestus]

Формулата, която е загатнал Jack, можеш дори директно да я приложиш, тъй като след привеждане
под общ знаменател ([tex]n -[/tex] един и същ за всички събираеми), този сбор от [tex]1[/tex] до [tex]n-1[/tex] го имаш в числителя.

[tex]\frac{ \frac{(n-1)n}{2} }{n} = 4 \Rightarrow \frac{n-1}{2} = 4 \Rightarrow n = 9[/tex]

А по отношение на самата формула [tex]-[/tex] не е нужно да я знаеш наизуст, тя е просто сума на аритметична прогресия с първи член [tex]1[/tex],
последен член [tex]n-1[/tex] и разлика [tex]1[/tex], т.е. винаги можеш да си я изведеш.