Аритметична прогресия

[Wiktor]

Условие:

В триъгълник ABC със страни AB = 5 и BC = 2 мерките на ъглите [tex]\alpha, \beta, \delta[/tex], в дадения ред, образуват аритметична прогресия. Намерете радиуса на описаната около триъгълника окръжност.

Как мога да използвам това, че ъглите образуват аритметична прогресия?

[mail_dinko]

триъгълник ABC със страни AB = 5 и BC = 2 мерките на ъглите
R=?
[tex]\alpha+ \beta+ \delta = 180 ^\circ[/tex]
[tex]\alpha+ \alpha+ d +\alpha+ 2d = 180 ^\circ \Rightarrow \alpha+ d = 60 ^\circ[/tex]
Кос. теорема
[tex]b^2 = 4+25 - 2.2.5 cos (\alpha + d)[/tex]
[tex]b^2 = 4+25 - 2.2.5 cos60 ^\circ[/tex]
[tex]b^2 = 4+25 - 2.2.5. \frac 12[/tex]
[tex]b^2 = 29-10 \Rightarrow b = \sqrt {19}[/tex]
[tex]S = \frac {1}{2} ac cos 60 ^\circ[/tex]
[tex]R = \frac {abc}{4S}[/tex]
[tex]R = \frac {b \cancel {ac}}{4.\frac {1}{2} . \cancel {ac} .sin 60 ^\circ}[/tex]
[tex]R = \sqrt {\frac{19}{3}}[/tex]

[nikola.topalov]

От това, че ъглите образуват аритметична прогресия, то можем да запишем [tex]\beta=\alpha+d[/tex] и [tex]\gamma=\alpha+2d[/tex]. Известно е, че [tex]\alpha+\beta+\gamma=180^\circ[/tex], откъдето след заместване получаваме [tex]\alpha+d=60^\circ[/tex], т.е. [tex]\beta=60^\circ[/tex]. Нататък правиш една косинусова теорема, за да намериш третата страна на триъгълника, а оттам и синусова теорема, за да пресметнеш радиуса на описаната около триъгълника окръжност.