Пресметнете сбора (2 зад.)

[Гост]

A = [tex]\frac{1}{ \sqrt{ a_{1 } } + \sqrt{ a_{2 } } } + \frac{1}{ \sqrt{ a_{2 } } + \sqrt{ a_{3 } } } + \frac{1}{ \sqrt{ a_{3 } } + \sqrt{ a_{4 } } } + ... + \frac{1}{ \sqrt{ a_{n-1 } } + \sqrt{ a_{n } } }[/tex], aко числата а1, а2, а3, ... an образуват аритметична профресия с разлика d>0 и a1>0

[KOPMOPAH]

$$A =\frac{1}{ \sqrt{ a_{1 } } + \sqrt{ a_{2 } } } + \frac{1}{ \sqrt{ a_{2 } } + \sqrt{ a_{3 } } } + \frac{1}{ \sqrt{ a_{3 } } + \sqrt{ a_{4 } } } + ... + \frac{1}{ \sqrt{ a_{n-1 } } + \sqrt{ a_{n } } }$$
Избавяме се от радикалите в знаменателя$$\frac1{ \sqrt{ a_1 } + \sqrt{ a_2 } }\cdot\frac{ \sqrt{ a_1 } - \sqrt{ a_2 }}{ \sqrt{ a_1 } - \sqrt{ a_2 }}=\frac{ \sqrt{ a_1 } - \sqrt{ a_2 }}{\left(\sqrt{a_1}\right)^2-\left(\sqrt{a_2}\right)^2}=\frac{\sqrt{ a_1 } - \sqrt{ a_2 }}{a_1-a_2}=\frac{\sqrt{ a_1 } - \sqrt{ a_2 }}{a_1-(a_1+d)}=\frac 1d\left(\sqrt {a_2}-\sqrt{a_1}\right)$$
Аналогично$$\frac{1}{ \sqrt{ a_{2 } } + \sqrt{ a_{3 } } } =\frac 1d\left(\sqrt {a_3}-\sqrt{a_2}\right)$$ $$\frac{1}{ \sqrt{ a_{3 } } + \sqrt{ a_{4 } } } =\frac 1d\left(\sqrt {a_4}-\sqrt{a_3}\right)$$ $$\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots$$ $$\frac{1}{ \sqrt{ a_{n-1 } } + \sqrt{ a_{n } } } =\frac 1d\left(\sqrt {a_n}-\sqrt{a_{n-1}}\right)$$
Събирайки почленно равенствата, получаваме$$A=\frac 1d\left(\cancel{\sqrt{a_2}}-\sqrt{a_1}+\cancel{\sqrt{a_3}}-\cancel{\sqrt{a_2}}+\cancel{\sqrt{a_4}}-\cancel{\sqrt{a_3}}+\cdots+\sqrt{a_n}-\cancel{\sqrt{a_{n-1}}}\right)=\frac 1d\left(\sqrt {a_n}-\sqrt {a_1}\right)$$