Система от линейни уравнения

[Wiktor]

Ако разделим двуцифрено число на цифрата на единиците му, ще получим частно 9 и остатък 4, а ако го разделим на цифрата на десетиците му, частното е 11, а остатъкът е 1. Намерете числото.

[Davids]

Нека двуцифреното ни число е $10a + b$, където а е цифрата на десетиците, а b е цифрата на единиците. Тогава даденото се превежда до системата:
[tex]\begin{array}{|l} \frac{10a + b} {b} = 9 + \frac{4}{b}\\ \frac{10a +b} {a} = 11 + \frac{1}{a}\end{array}[/tex]

Остава да я решим:
[tex]\begin{array}{|l} 10a + b = 9b +4 \\ 10a + b = 11a + 1 \end{array}[/tex]

[tex]\begin{array}{|l} 10a - 8b = 4 \\ - a +b=1\end{array}[/tex]

От второто можем да изразим $b = a +1$, заместваме в първото:
$10a - 8(a+1)=4$
$2a = 12$
$a = 6$
$\Rightarrow b =7$

И числото ни е 67.

[S.B.]

Нека цифрата на десетиците е $x$ ,а цифрата на единиците е $y$
Тогава числото е $10.x + y$
Ако разделим числото на цифрата на единиците ще получим частно $9$ и остатък $4$
$$\Rightarrow \frac{10x + y}{y } = 9 + \frac{4}{y} $$

Ако разделим числото на цифрата на десетиците ,ще получим частно $11$ и остатък $1$
$$\Rightarrow \frac{10x + y}{x} = 11 + \frac{1}{x} $$

Образувам система:

[tex]\begin{array}{|l} \displaystyle \frac{10x + y}{y} = 9 + \displaystyle \frac{4}{y} \\\displaystyle \frac{10x + y}{x} = 11 + \displaystyle\frac{1}{x} \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} 10x + y = 9y + 4 \\ 10x + y = 11x + 1 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} 10x = 8y + 4 \\ y = x + 1 \end{array} \Leftrightarrow 10x = 8(x + 1) + 4 \Leftrightarrow 2x = 12 \Rightarrow x = 6 , y = 7[/tex]
Търсеното число е: $67$