Уравнение

[Wiktor]

Добър ден! Може ли някой да ми каже как да подходя тук? Благодаря предварително

[tex](x-2)^{4 }+(x-4)^{4 } = 16[/tex]

[Davids]

Опита ни подсказва като за начало да положим линейно $t := x - 3$ за да получим:
$(t+1)^4 + (t-1)^4 = 16$

Допълваме лявата страна до точен квадрат и опростяваме:
$\left[(t+1)^2-(t-1)^2\right]^2 + 2\left[(t+1)(t-1)\right]^2 = (4t)^2 + 2(t^2-1)^2 = 2t^4 + 12t^2 + 2$

Вече сме в биквадратен сценарий, полагаме стандартно $y := t^2 = (x-3)^2 \ge 0$ и уравнението се свежда до:
$2y^2 + 12y + 2 = 16$
$y^2 + 6y - 7 = 0$

Решения са $y_1 = -7$ и $y_2 = 1$. Валидно е само $y_2$.

Остана да върнем субституцията и да решим квадратното уравнение:
$(x-3)^2 = 1$
$|x - 3| = 1$

И получаваме решенията $x_1 = 2$ и $x_2 = 4$.

[Wiktor]

Опита ни подсказва като за начало да положим линейно $t := x - 3$ за да получим:
$(t+1)^4 + (t-1)^4 = 16$

Допълваме лявата страна до точен квадрат и опростяваме:
$\left[(t+1)^2-(t-1)^2\right]^2 + 2\left[(t+1)(t-1)\right]^2 = (4t)^2 + 2(t^2-1)^2 = 2t^4 + 12t^2 + 2$

Вече сме в биквадратен сценарий, полагаме стандартно $y := t^2 = (x-3)^2 \ge 0$ и уравнението се свежда до:
$2y^2 + 12y + 2 = 16$
$y^2 + 6y - 7 = 0$

Решения са $y_1 = -7$ и $y_2 = 1$. Валидно е само $y_2$.

Остана да върнем субституцията и да решим квадратното уравнение:
$(x-3)^2 = 1$
$|x - 3| = 1$

И получаваме решенията $x_1 = 2$ и $x_2 = 4$.

Благодаря за решението! Значи тук особеното е, че трябва да положа на средноаритметичното на числата, повдигнати на четвърта степен, така ли да разбирам?

[Гост]

probvai i taka [tex]\begin{array}{|l} a^{4 } + b^{4 } = c^{4 } \\ a - b = c \\c=2\end{array}[/tex]

[Davids]

Благодаря за решението! Значи тук особеното е, че трябва да положа на средноаритметичното на числата, повдигнати на четвърта степен, така ли да разбирам?

По принцип в никоя задача нищо не трябва. Това е просто моята идея за решение. Мотивацията е, че при допълването до точен квадрат ще можем да се възползваме от формулата за съкратено умножение $(a+b) (a-b) = a^2 - b^2$, а освен това в групирания точен квадрат имаме блажени съкращения, като сменим променливата по този начин.

Но както можеш да видиш и от мнението на Гост над мен, далеч не е догматично нужен такъв подход, варианти за решения в общия случай има повече от един. Това е просто един вариант.

[Гост]

Wiktor, do tuka imash 2 reshenija; no vsyako u-e ot chetvurta stepen ima 4 reshenija; mozesh li da kazesh kakvi sa drugite 2 i da gi namerish?

[Евва]

Скрит текст: покажи

Разсъждавала съм като Гост .

полагам x-2=a , x-4=b

[tex]\begin{array}{|l} a^{4 } + b^{4 } = 16 \\ a - b = 2 \end{array}[/tex]

[tex]\begin{array}{|l} a^{4 } + b^{4 } = 16 \\ a^{2 }-2ab+ b^{2 } = 4 \end{array}[/tex]

[tex]\begin{array}{|l} a^{4 } + b^{4 } = 16 \\ a^{4 } +4 a^{2 } b^{2 }+ b^{4 }-4 a^{3 }b+2 a^{2 } b^{2 }-4a b^{3 } = 16 \end{array}[/tex]

6[tex]a^{2 }[/tex][tex]b^{2 }[/tex]-4[tex]a^{3 }[/tex]b-4a[tex]b^{3 }[/tex]=0 |:2[tex]\ne[/tex]0

ab(3ab-2[tex]a^{2 }[/tex]-2[tex]b^{2 }[/tex])=0

a=0 ,или b=0 ,или 2[tex]a^{2 }[/tex]-3ab+2[tex]b^{2 }[/tex]=0

Квадратното уравнение спрямо а (или спрямо b) няма решение ,защото D<0 .
1 сл. a=0 От a-b=2 [tex]\Rightarrow[/tex] b= -2 към полагането x-2=0 и x-4= -2 [tex]\Rightarrow[/tex] х= 2

2 сл. b=0 От a-b=2 [tex]\Rightarrow[/tex] a=2 към полагането х-2=2 и x-4=0 [tex]\Rightarrow[/tex] x=4

[Евва]

(Още една идея) Опростих даденото ур-е и стигнах до :
[tex]x^{4 }[/tex]-12[tex]x^{3 }[/tex]+60[tex]x^{2 }[/tex]-144х+128 =0

По схемата на Хорнер намираме корените .