Вписани и описани многоъгълници

[Wiktor]

Добър ден, съфорумци. Докато решавах един сборник попаднах на една задача, която ме обърка напълно. Условието звучи така:

Даден е правоъгълен [tex]\triangle ABC[/tex] с дължини [tex]r[/tex] и [tex]r_{c}[/tex] на вписаната и на външно вписаната окръжност, допираща се до хипотенузата. Изразете лицето на [tex]\triangle ABC[/tex] чрез [tex]r[/tex] и [tex]r_{c}[/tex]

Отговор: [tex]S_{ABC} = r.r_{c}[/tex]
Обърква ме това, че не знам как да използвам радиусите...
Благодаря предварително на всеки прегледал задачата.

[Gruicho]

Вписана и външновписана окръжност.png (409.35 KiB) Прегледано 892 пъти

От свойствата на допирателните $AG=AF=c_b;~~BF=BH=c_a$

Четириъгълникът $DHCG$ е квадрат, защото две съседни негови страни са равни на $r_c$ и има поне три прави ъгъла
$$c_a=r_c-a,~~c_b=r_c-b$$

Лицето на триъгълника $\triangle ABC$ е $$S_{\triangle ABC}=p.r=\frac{a+b+r_c-a+r_c-b}2.r=r_c.r$$