Успоредник

[Гост]

В успоредника $ABCD$ е построена височината $DE$.Ако $AE = 3$ , $BE = 4$ и [tex]AC = 2 \sqrt{29}[/tex] да се определи острия ъгъл между диагоналите на успоредника.

[ammornil]

221127_001.png (11.59 KiB) Прегледано 798 пъти

[tex][/tex]
[tex]AC \cap BD = O, \angle AOD = \phi[/tex]
[tex]AB=AE+BE=7 \Rightarrow CD = 7[/tex]

Построяваме височината [tex]CF, \> F \in AB\ \vec{ }, ABCD- \text{правоъгълник} \Rightarrow EF=CD=7 \Rightarrow BF=CD-BE=3 \Rightarrow AF=10[/tex]
[tex]\triangle AFC -\text{правоъгълен} \Rightarrow AC^{2}=AF^{2}+CF^{2} \Rightarrow CF^{2}=AC^{2}-AF^{2} \Rightarrow CF^{2} = (2\sqrt{29})^{2}-10^{2} \Rightarrow CF=4 \Rightarrow DE=4[/tex]
[tex]\triangle BFC -\text{правоъгълен} \Rightarrow BC^{2}=BF^{2}+CF^{2} \Rightarrow BC^{2}=3^{2}+4^{2} \Rightarrow BC=5[/tex]

[tex]\triangle AED -\text{правоъгълен} \rightarrow \cos(\angle DAE)=\frac{3}{5}[/tex]

[tex]\triangle ABD, \text{к.т.} \rightarrow BD^{2}=AD^{2}+AB^{2}-2.AD.AB.\cos(\angle DAE)=5^{2}+7^{2}-2.5.7.\frac{3}{5}=32 \Rightarrow BD=4\sqrt{2}[/tex]

[tex]S_{ABCD}=AB.DE=7.4=28[/tex]

[tex]S_{ABCD}=\frac{1}{2}.AC.BD.\sin{\phi} \Leftrightarrow \sin{\phi}=\frac{2S_{ABCD}}{AC.BD}=\frac{2.28}{2\sqrt{29}.4\sqrt{2}}=\frac{7\sqrt{58}}{58} \Rightarrow \phi = \arcsin{\frac{7\sqrt{58}}{58}}[/tex]

Проверете сметките, но това е един начин да се реши задачата.

[S.B.]

В успоредника $ABCD$ е построена височината $DE$.Ако $AE = 3$ , $BE = 4$ и [tex]AC = 2 \sqrt{29}[/tex] да се определи острия ъгъл между диагоналите на успоредника.

Без заглавие - 2022-11-27T141746.279.png (211.63 KiB) Прегледано 792 пъти

Още един поглед върху задачата

[tex]AC \cap BD = O , \angle CAB = \alpha , \angle AOB = \varphi , \angle BOC = 180 ^\circ - \varphi ,OB = x[/tex]
[tex]C E_{1 } \bot AB[/tex]
[tex]\triangle AED \cong \triangle BC E_{1 }[/tex] (по катет и хипотенуза : [tex]AD = BC , DE = CE_{1 }= h)[/tex]
[tex]\Rightarrow B E_{1 } = AE = 3 \Rightarrow A E_{1 }=10[/tex]
От [tex]\triangle A E_{1 }C : \frac{A E_{1 } }{AC} = \cos \angle E_{1 } AC \Leftrightarrow \frac{10}{2 \sqrt{29} } = \cos \alpha \Rightarrow \cos \alpha = \frac{5}{ \sqrt{29} } , \sin \alpha = \frac{2}{ \sqrt{29} }[/tex]

За [tex]\triangle ABO[/tex] прилагам Косинусова теорема:
[tex]OB^{2 } = AO^{2 } + AB^{2 } - 2.AO.AB.\cos \alpha \Leftrightarrow x^{2 } = 29 + 49 - 2. \sqrt{29}.7. \frac{5}{ \sqrt{29} } \Leftrightarrow x^{2 } = 78 - 70 \Leftrightarrow x^{2 } = 8 \Rightarrow AO = x = 2 \sqrt{2}[/tex]

За [tex]\triangle AOB[/tex] прилагам Синусова теорема:
[tex]\frac{AO}{\sin \alpha } = \frac{AB}{\sin \varphi } \Leftrightarrow \sin \varphi = \frac{AB}{AO}.\sin \alpha \Leftrightarrow \sin \varphi = \frac{7}{2 \sqrt{2} }. \frac{2}{ \sqrt{29} } \Rightarrow \sin \varphi = \frac{7 \sqrt{58} }{58}[/tex]

$$\begin{cases} \sin \varphi = \displaystyle \frac{7 \sqrt{58} }{58} \\ \angle BOC = 180 ^\circ - \varphi \end{cases} \Rightarrow \sin \angle BOC = \displaystyle\frac{7 \sqrt{58} }{58}$$