Ромб

[Гост]

В ромба $ABCD$ [tex]\angle ABC = 2 \alpha < 90 ^\circ[/tex] . През върха $A$ са построени правите $a$ и $b$.
Правата $a$ пресича $BD$ и $BC$ съответно в точки $P$ и $M$,а правата $b$ пресича $BD$ и $DC$ съответно в точки $Q$ и $N$.
Ако [tex]\angle (a,b) = \alpha[/tex],да се докаже, че отношението на лицата на триъгълниците $AMN$ и $APQ$ е [tex]4 \cos^{2 } \alpha[/tex].

[Евва]

При моя чертеж т.М и т.N лежат съответно на отсечките BC и CD .
Нека AB=1 ,AQ=m и BM=z . Точка О е прес. т. на диагоналите на ABCD .
Означаваме [tex]\angle[/tex]AQP=[tex]\beta[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle[/tex]PMB=[tex]\angle[/tex]DAP=[tex]\angle[/tex]DQN =[tex]\beta[/tex]

Тъй като [tex]\triangle[/tex]ABQ[tex]\approx[/tex][tex]\triangle[/tex]QND по 1 пр. ,то означаваме DN=x и NQ=mx .
Тъй като [tex]\triangle[/tex]ABQ [tex]\approx[/tex] [tex]\triangle[/tex]APD по 1 пр. ,то означаваме PD=y и AP=my .

[tex]\triangle[/tex]PBM[tex]\approx[/tex][tex]\triangle[/tex]APQ по 1 пр. [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{PB}{AP}[/tex]=[tex]\frac{BM}{AQ}[/tex] ;[tex]\frac{PB}{my}[/tex]=[tex]\frac{z}{m}[/tex] ; PB=yz

[tex]\triangle[/tex]APQ[tex]\approx[/tex][tex]\triangle[/tex]QND по 1 пр, [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{AP}{DN}[/tex]=[tex]\frac{AQ}{DQ}[/tex] ; [tex]\frac{my}{x}[/tex]=[tex]\frac{m}{DQ}[/tex] ; DQ=[tex]\frac{x}{y}[/tex]

[tex]\triangle[/tex]ABQ[tex]\approx[/tex][tex]\triangle[/tex]QND по 1 пр. [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{AB}{DN}[/tex]=[tex]\frac{BQ}{DQ}[/tex] ; [tex]\frac{1}{x}[/tex]=[tex]\frac{BQ}{ \frac{x}{y} }[/tex] ; BQ=[tex]\frac{1}{y}[/tex]

[tex]\triangle[/tex]PBM[tex]\approx[/tex][tex]\triangle[/tex]QND по 1 пр. [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{BM}{DQ}[/tex]=[tex]\frac{PM}{NQ}[/tex] ; [tex]\frac{z}{ \frac{x}{y} }[/tex]=[tex]\frac{PM}{mx}[/tex] ; PM=myz
___________________________________________________________________________________
[tex]\frac{ S_{AMN } }{ S_{APQ } }[/tex]= [tex]\frac{ \frac{AM.AN sin \alpha }{2} }{ \frac{AP.AQsin \alpha }{2} }[/tex] =[tex]\frac{(my+myz)(m+mx)}{mym}[/tex]=[tex]\frac{my(1+z)m(1+x)}{mym}[/tex] =(1+z)(1+x)=

=[tex]\frac{1}{y}[/tex](y+yz)y([tex]\frac{1}{y}[/tex]+[tex]\frac{x}{y}[/tex]) =(DP+BP)(BQ+DQ)= [tex]BD^{2 }[/tex]=([tex]2BO)^{2 }[/tex]=4([tex]\frac{BO}{1}) ^{2 }[/tex]=4([tex]\frac{BO}{AB}) ^{2 }[/tex] ( от [tex]\triangle[/tex]АВО) =4[tex]cos^{2 }[/tex][tex]\alpha[/tex]

[S.B.]

В ромба $ABCD$ [tex]\angle ABC = 2 \alpha < 90 ^\circ[/tex] . През върха $A$ са построени правите $a$ и $b$.
Правата $a$ пресича $BD$ и $BC$ съответно в точки $P$ и $M$,а правата $b$ пресича $BD$ и $DC$ съответно в точки $Q$ и $N$.
Ако [tex]\angle (a,b) = \alpha[/tex],да се докаже, че отношението на лицата на триъгълниците $AMN$ и $APQ$ е [tex]4 \cos^{2 } \alpha[/tex].

Без заглавие - 2022-12-02T151911.564.png (367.63 KiB) Прегледано 1011 пъти

Още един поглед върху задачата:

Разглеждам четириъгълника $ABMQ$ :
[tex]\angle QAM = \angle QBM = \alpha[/tex] - това е едно необходимо и достатъчно условие около четириъгълника да може да се опише окръжност.
За [tex]\triangle ANQ[/tex]: [tex]\angle QAM = \angle QMA = \alpha \Rightarrow \angle AQM = \pi - 2 \alpha[/tex]
Прилагам Синусова теорема:
[tex]\frac{AQ}{\sin \alpha } = \frac{AM}{\sin( \pi - 2\alpha )} \Leftrightarrow \frac{AQ}{\sin \alpha } = \frac{AM}{\sin 2 \alpha } \Leftrightarrow \frac{AQ}{\sin \alpha } = \frac{AM}{2\sin \alpha\cos \alpha } \Rightarrow \frac{AM}{AQ} = 2\cos \alpha[/tex]

Аналогично около четириъгълника $APND$ може да се опише окръжност.
За [tex]\triangle APN[/tex] прилагам Синусова теорема:
[tex]\frac{AP}{\sin \alpha } = \frac{AN}{\sin( \pi- 2\alpha )} \Leftrightarrow \frac{AP}{\sin \alpha } = \frac{AN}{\sin 2 \alpha } \Rightarrow \frac{AN}{AP} = 2\cos \alpha[/tex]

За [tex]\triangle AMN[/tex] и [tex]\triangle APQ[/tex] ,които имат общ ъгъл [tex]\alpha[/tex] е изпълнено [tex]\frac{AM}{AQ} = \frac{AN}{AP} = 2\cos \alpha \Rightarrow[/tex]
[tex]\triangle AMN \approx \triangle APQ[/tex] с коефициент [tex]2\cos \alpha[/tex] (Втори признак)
Тогава за лицата е изпълнено : [tex]\frac{ S_{AMN } }{ S_{APQ } } = (2\cos \alpha) ^{2 } \Rightarrow[/tex]
$$\frac{ S_{AMN } }{ S_{APQ } } = 4 \cos^{2 } \alpha $$