Правилна триъгълна пирамида 45°

[Гост]

Намерете околната повърхнина на правилна триъгълна пирамида с основен ръб 4см и апотема, която сключва с равнината на основата ъгъл 45°.

[ammornil]

Намерете околната повърхнина на правилна триъгълна пирамида с основен ръб 4см и апотема, която сключва с равнината на основата ъгъл 45°.

Screenshot 2023-04-12 183447.png (23.14 KiB) Прегледано 867 пъти

[tex]AC=BC=AB=a=4[cm]; \varphi=45^{\circ}; AM=BM=CM=l;[/tex]
[tex]AN=NB=AQ=CQ=\frac{AC}{2}=2[cm]; \hspace{2em} BQ \bot AC; CN \bot AB; \hspace{2em} CN=BQ=\frac{a\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}[cm] \text{ височина, медиана и ъглополовяща};[/tex]
[tex]CN \cap BQ = O \text{ медицентър, център на вписана и описана окръжност}[/tex]
[tex]\begin{cases} BQ \bot AC \\ MQ \bot AC \end{cases} \Rightarrow \angle{BAM}=\varphi=45^{\circ}[/tex]
[tex]\frac{BO}{OQ}=\frac{2}{1} \Rightarrow OQ=\frac{1}{3}\cdot{BQ}=\frac{2\sqrt{3}}{3}[cm][/tex]
[tex]AM=BM=CM \Rightarrow MO \bot p(ABC) \Rightarrow MO \bot BQ \Rightarrow \frac{OQ}{MQ}=\cos{\varphi} \Rightarrow MQ=\frac{OQ}{\cos{\varphi}}=\frac{\frac{2\sqrt{3}}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{2\sqrt{6}}{3}[cm][/tex]
[tex]S_{1}=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}+3\cdot{\frac{a\cdot{MQ}}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot{4^{2}}+\frac{3}{2}\cdot{4}\cdot{\frac{2\sqrt{6}}{3}}=4\sqrt{3}+4\sqrt{6}=4\sqrt{3}+4\sqrt{2}\sqrt{3}=4\sqrt{3}(1+\sqrt{2})[cm^{2}][/tex]