Задачa от геометрия(четириъгълник)

[Strahil]

Здравейте, може ли помощ за следната задача:

Четириъгълникът ABCD е вписан в окръжност и описан около окръжност. Ако АВ е 1 см, АD е 2см, и ъгъл BAD е 120, намерете:
А) дължината на диагонала BD
Б) обиколката на ABCD
В) лицето на ABCD
Г) радиуса на описаната около ABCD окръжност

[ammornil]

Четириъгълникът ABCD е вписан в окръжност и описан около окръжност. Ако АВ е 1 см, АD е 2см, и ъгъл BAD е 120, намерете:

Screenshot 2023-05-16 232420.png (30.92 KiB) Прегледано 1144 пъти

А) дължината на диагонала BD
[tex]\triangle{ABD} \text{ Косинусова теорема } BD^{2}=AB^{2}+AD^{2}-2\cdot{AB}\cdot{AD}\cdot{\cos{120^{\circ}}}[/tex]
Единственото неизвестно е търсената отсечка...

Скрит текст: покажи

[tex]BD^{2}=1^{2}+2^{2}-2\cdot{1}\cdot{2}\cdot{\left(-\frac{1}{2} \right)}=7 \Rightarrow BD=\sqrt{7}[/tex]

Б) обиколката на ABCD
[tex]AB=1, \hspace{2em} BC=x, \hspace{2em} CD=y, \hspace{2em} AD=2[/tex]
[tex]ABCD { описан } \Rightarrow AB+CD=BC+AD \Leftrightarrow 1+y=2+x \Rightarrow x=y-1[/tex]
[tex]ABCD { вписан } \Rightarrow \angle{BAD}+\angle{BCD}=180^{\circ} \Leftrightarrow \angle{BCD}=60^{\circ}[/tex]
[tex]\triangle{BCD} \text{ Косинусова теорема } BD^{2}=BC^{2}+CD^{2}-2\cdot{BC}\cdot{CD}\cdot{\cos{60^{\circ}}} \Leftrightarrow 7=(y-1)^{2}+y^{2}-2\cdot{(y-1)}\cdot{y}\cdot{\frac{1}{2}}[/tex]
Решаваме за [tex]y[/tex] и после намираме [tex]x[/tex], а оттам и обиколката на четириъгълника.

Скрит текст: покажи

[tex]7=y^{2}+y^{2}-2y+1-y^{2}+y \Leftrightarrow y^{2}-y-6=0 \rightarrow y_{1,2}=\frac{-1\pm \sqrt{(-1)^{2}-4\cdot{1}\cdot{-6}}}{2\cdot{1}}=\frac{1\pm5}{2} \begin{cases} y_{1}=-2 \notin DM \\ y_{2}=3 \in DM \end{cases} \Rightarrow[/tex]
[tex]BC=2cm, CD=3cm[/tex] $$ P_{ABCD}=AB+BC+CD+AD=8cm $$

В) лицето на ABCD
[tex]S_{ABCD}=S_{ABD}+S_{BCD}[/tex]
Лицето на всеки от триъгълниците може да се пресметне по три страни...

Скрит текст: покажи

[tex]S_{ABD}=\sqrt{\frac{AB+AD+BD}{2}\cdot\frac{AB+AD-BD}{2}\cdot \frac{AB-AD+BD}{2} \cdot \frac{-AB+AD+BD}{2}}=\frac{1}{4}\sqrt{(1+2+\sqrt{7})(1+2-\sqrt{7})(1-2+\sqrt{7})(-1+2+\sqrt{7})}[/tex]
[tex]S_{ABD}=\frac{1}{4}\sqrt{(3^{2}-(\sqrt{7})^{2})((\sqrt{7})^{2}-1^{2})}=\frac{1}{4}\sqrt{2\cdot{6}}=\frac{\sqrt{3}}{2}cm^{2}[/tex]

[tex]S_{ABD}=\sqrt{\frac{BC+CD+BD}{2}\cdot\frac{BC+CD-BD}{2}\cdot \frac{BC-CD+BD}{2} \cdot \frac{-BC+CD+BD}{2}}=\sqrt{\frac{2+3+\sqrt{7}}{2}\cdot\frac{2+3-\sqrt{7}}{2}\cdot \frac{2-3+\sqrt{7}}{2} \cdot \frac{-2+3+\sqrt{7}}{2}}[/tex]
[tex]S_{ABD}=\frac{1}{4}\sqrt{(5^{2}-(\sqrt{7})^{2})((\sqrt{7})^{2}-1^{2})}=\frac{1}{4}\sqrt{18\cdot{6}}=\frac{1}{4}\cdot{6\sqrt{3}}=\frac{3\sqrt{3}}{2}cm^{2}[/tex]

[tex]S_{ABCD}=S_{ABD}+S_{BCD}=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{3\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}cm^{2}[/tex]

Г) радиуса на описаната около ABCD окръжност
Окръжността описана около четириъгълника е също и описаната окръжност за [tex]\triangle{BCD}[/tex]
следователно можем да намерим търсения радиус от Синусова теорема [tex]\frac{BD}{\sin{\angle{BCD}}}=2\cdot{R}[/tex]

Скрит текст: покажи

[tex]\frac{BD}{\sin{60^{\circ}}}=2\cdot{R} \Rightarrow R=\frac{BD}{2\cdot \sin{60^{\circ}}}=\frac{\sqrt{7}}{2\cdot{\frac{\sqrt{3}}{2}}}=\frac{\sqrt{21}}{3}[/tex]

[Евва]

Ще си улесним живота ,ако използваме формулата за лице на четириъгълник ,който
едновременно е вписан и описан около окръжност .

[tex]S_{ABCD }[/tex] = [tex]\sqrt{AB.BC.CD.AD}[/tex]

Взели ли сте я тази формула ?

[Strahil]

Много благодаря и на двама ви. Да, формулата сме я взимали(мисля, че в 8. или 9. клас).