Равнобедрен триъгълник

[Гост]

Даден е триъгълник със страни $AC = BC = 50, AB = 60$ и височина към основата $CD$.Точка $M$ е среда на $CD$.$AM$ пресича $BC$ в т. $N$

Да се намерят $MN = ?$ и лицето на четириъгълника $DBNM$.
Моля за помощ!

[Davids]

Започваме поред да градим причинно-следствената верижка:
1. $CD$ е височина към основата в равнобедрен триъгълник, значи автоматично е и медиана. Значи $AD = BD = 30$.
2. По питагорова (да, с малки букви се пише ) теорема за $\triangle ADC$ бързо се ориентираме, че $DC = 40$. Най-познатата питагорова тройка $(3, 4, 5)$.
3. $M$ е среда на $CD$, значи $CM = DM = 20$.
4. Отново по питагорова теорема намираме $AM = 10\sqrt{13}$. Ще ни е нужно по-късно, но го декларирам тук и сега
5. Построяваме $MP$ както е на чертежа, т.е. $MP \parallel AB, P\in BC$.
6. Понеже $М$ е средата на $CD$ и $MP \parallel DB$, то $MP$ е средна отсечка в $\triangle DBC$, откъдето $MP = \frac{1}{2}DB = 15$.
7. Отново понеже $MP\parallel AB$, то $\triangle MPN \sim \triangle ABN$, а от $\frac{MP}{AB} = \frac{1}{4}$ имаме и коефициента на подобие, именно $k = \frac{1}{4}$.
8. Оттам имаме $\frac{MN}{AN} = k = \frac{1}{4}$, сиреч $MN = \frac{1}{3}AM = \frac{10}{3}\sqrt{13}$ и $AN = \frac{4}{3}\cdot AM = \frac{40}{3}\sqrt{13}$. Тук приключихме с първата част от задачата.

Оттам нататък остава да се сметне лицето на $DBNM$. Аз бих подходил чрез сума на $DBPM$ (лесната част) и $\triangle MPN$, за който можем да се изхитрим с малко подобия, но ще оставя това за довъшрване от читателя.

Прикачвам и чертеж, защото ме удари музата и се озовах с компютър в ръцете.

---- EDIT ----
Умря ми батерията точно като го качвах и е загубен завинаги. Чертежът ще остане за мераклиите, не е твърде сложен.

[Гост]

Отговор-page-001 (1).jpg (181.62 KiB) Прегледано 852 пъти

Отговор-page-002.jpg (118.51 KiB) Прегледано 852 пъти

[S.B.]

Даден е триъгълник със страни $AC = BC = 50, AB = 60$ и височина към основата $CD$.Точка $M$ е среда на $CD$.$AM$ пресича $BC$ в т. $N$
$DC = 40
Да се намерят $MN = ?$ и лицето на четириъгълника $DBNM$.
Моля за помощ!

Без заглавие - 2023-09-17T171157.210.png (236.25 KiB) Прегледано 832 пъти

Още един различен поглед върху задачата:

За [tex]\triangle ADC[/tex] прилагам Питагорова теорема и получавам $DC = 40$
$M$ е среда на [tex]DC \Rightarrow DM = MC = 20[/tex]
За [tex]\triangle ADM[/tex] прилагам Питагорова теорема и намирам [tex]AM = 10 \sqrt{13}[/tex]
Нека [tex]\angle DAM = \beta , \angle AMD = \gamma ,\angle ABC = \alpha , \angle ANB = \varphi[/tex]
От [tex]\triangle ADM[/tex] получавам:
[tex]\sin \beta = \frac{2 \sqrt{13} }{13} , \cos \beta = \frac{3 \sqrt{13} }{13}[/tex]
От [tex]\triangle DBC[/tex] получавам:
[tex]\sin \alpha = \frac{4}{5} , \cos \alpha = \frac{3}{5}[/tex]

От [tex]\triangle ABN \rightarrow \angle ANB = 180 ^\circ - ( \angle NAB + \angle ABN) \Rightarrow \varphi = 180 ^\circ -( \alpha + \beta )[/tex]
[tex]\varphi = 180 ^\circ - ( \alpha + \beta) \Rightarrow \sin \varphi = \sin[180 ^\circ - ( \alpha + \beta )] \Leftrightarrow \sin \varphi= \sin( \alpha + \beta )[/tex]
[tex]\sin ( \alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha\sin \beta = \frac{4}{5}. \frac{3 \sqrt{13} }{13} + \frac{3}{5}. \frac{2 \sqrt{13} }{13} = \frac{18 \sqrt{13} }{65}[/tex]
$$\Rightarrow \sin \varphi = \sin( \alpha + \beta) = \frac{18 \sqrt{13} }{13} $$
[tex]AN = AM + MN , MN = x \Rightarrow AM = 10 \sqrt{13} + x[/tex]

За [tex]\triangle ABN[/tex] прилагам Синусова теорема:

[tex]\displaystyle\frac{AN}{\sin \alpha } = \displaystyle\frac{AB}{\sin \varphi } \Leftrightarrow \displaystyle \frac{10 \sqrt{13} + x }{ \displaystyle\frac{4}{5} } = \displaystyle \frac{60}{\displaystyle \frac{18 \sqrt{13} }{65} }[/tex] от където получавам [tex]x = \frac{10 \sqrt{13} }{3}[/tex]
$$\Rightarrow MN = \frac{10 \sqrt{13} }{3} $$

От [tex]\triangle ADM \rightarrow \sin \angle AMD = \sin \gamma = \frac{3 \sqrt{13} }{13}[/tex]
[tex]\angle CMN = \angle AMD \Rightarrow \sin \angle CMN = \sin \gamma = \frac{3 \sqrt{13} }{13}[/tex]

[tex]S_{CMN } = \frac{CM.MN}{2} .\sin \gamma \Leftrightarrow S_{CMN } = \frac{1}{2}.20. \frac{10 \sqrt{13} }{3}. \frac{3 \sqrt{13} }{13}
\Leftrightarrow S_{CMN } = 100[/tex]

[tex]S_{DBC } = \frac{30.40}{2} = 600[/tex]

[tex]S_{DBNM } = S_{DBC } - S_{MNC } = 600 - 100[/tex]
$$\Rightarrow S_{DBNM } = 500$$