Равнобедрен триъгълник

[Гост]

Около окръжност с радиус 4 см е описан равнобедрен триъгълник с основа 12 см. Да се намери обиколката и лицето на триъгълника.
Моля за помощ!

[S.B.]

Около окръжност с радиус 4 см е описан равнобедрен триъгълник с основа 12 см. Да се намери обиколката и лицето на триъгълника.
Моля за помощ!

Без заглавие - 2024-02-03T201435.335.png (197.61 KiB) Прегледано 693 пъти

т.$O$ е център на вписаната окръжност [tex]\Rightarrow O[/tex] е пресечна точка на ъглополовящите на [tex]\triangle ABC,CH \bot AB,CH[/tex] е и медиана и ъглополовяща
[tex]O \in CH ,OH =r = 4[/tex]
[tex]\angle ABC = \alpha \Rightarrow \angle ABO = \frac{ \alpha }{2}[/tex]

От [tex]\triangle HBO[/tex]:
[tex]\frac{OH}{BH} = \tg \frac{ \alpha }{2} \Leftrightarrow \tg \frac{ \alpha }{2} = \frac{4}{6} \Rightarrow \tg \frac{ \alpha }{2} = \frac{2}{3}[/tex]

[tex]\begin{array}{|l} \tg \frac{ \alpha }{2} = \frac{2}{3} \\ \ \sin^{2 }\frac{ \alpha }{2} + \cos^{2 }\frac{ \alpha }{2} = 1\end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} \frac{\sin \frac{ \alpha }{2} }{\cos \frac{ \alpha }{2} } = \frac{2}{3} \\ \sin^{2 }\frac{ \alpha }{2} + \cos^{2 } \frac{ \alpha }{2}= 1 \end{array}[/tex]
След решение на системата,(решавали сте такива системи в 9 клас!)получаваш :
$$\cos^{2 } \frac{ \alpha }{2} = \frac{9}{13}$$
[tex]\cos^{2 } \frac{ \alpha }{2} = \frac{1 + \cos \alpha }{2} \Leftrightarrow \frac{9}{13} = \frac{1 + \cos \alpha }{2}[/tex]
$$\Rightarrow \cos \alpha = \frac{5}{13} $$
От [tex]\triangle HBC[/tex]:
[tex]\frac{HB}{CB} = \cos \alpha \Leftrightarrow \frac{6}{CB} = \frac{5}{13} \Rightarrow CB = \frac{13.6}{5} \Rightarrow CB = 15,6 cm[/tex]

[tex]P_{ABC } = 2.CB + AB \Leftrightarrow P_{ABC } = 2.15,6 + 12[/tex]
$$\Rightarrow P_{ABC } = 43,2 cm$$
[tex]S_{ABC } = p.r \Leftrightarrow S_{ABC } = 21,6.4[/tex]
$$\Rightarrow S_{ABC } = 86,4 cm^{2 } $$

[Гост]

Много благодаря за бързия отговор!