Намерете околната повърхнина на правилна триъгълна пирамида

[Гост]

Намерете околната повърхнина на правилна триъгълна пирамида с основен ръб b=1 и ъгъл между околна стена и основа, равен на 60°.

[ammornil]

Намерете околната повърхнина на правилна триъгълна пирамида с основен ръб b=1 и ъгъл между околна стена и основа, равен на 60°.

Нека ъгълът между околната стена и основата означим с [tex]\varphi=60^{\circ}\\[/tex]

Screenshot 2024-04-29 164237.png (31.73 KiB) Прегледано 352 пъти

[tex]\\ AB=BC=AC=b \Rightarrow r_{\text{вп.окр.}_{ABC}}=\frac{b\cdot{\sqrt{3}}}{6}\\[/tex]В равностранния триъгълник, медицентърът е и ортоцентър, и пресечна точка на ъглополовящите, следователно е и център на вписаната и описаната окръжности; радиусът на вписаната окръжност е равен на една трета от медианата на триъгълника, защото медицентърът разделя медианите в отношение две към едно считано от съответния връх.[tex]\\ \cos{\varphi}=\frac{r_{\text{вп.окр.}_{ABC}}}{k} \Rightarrow k=\frac{r_{\text{вп.окр.}_{ABC}}}{\cos{\varphi}}=\frac{\frac{b\cdot{\sqrt{3}}}{6}}{\frac{1}{2}}=\frac{b\sqrt{3}}{3}=\frac{\sqrt{3}}{3} \\ \begin{cases} b=1 \\ k=\frac{\sqrt{3}}{3} \end{cases} \quad \Rightarrow S=3\cdot{\frac{1}{2}}\cdot{}b\cdot{}k=\cdots[/tex]