Система уравнения

[Гост]

Да се реши системата:

[tex]\begin{array}{|l} x^{3 } - y^{3 } = 26 \\ x^{2 }y - x y^{2 } = 6 \end{array}[/tex]

Моля за помощ!

[grav]

Умножи второто по три и ги извади.

[ammornil]

Да се реши системата:

[tex]\begin{array}{|l} x^{3 } - y^{3 } = 26 \\ x^{2 }y - x y^{2 } = 6 \end{array}[/tex]

Моля за помощ!

Решението на grav e хитро, моето е бакалското $\\[24pt] \because x\ne{y}: \\ x^{2} +y^{2}= (x-y)^{2} +2xy \\ x-y=t \ne{0}, \quad xy= v \ne{0} \\ x^{3}-y^{3}= (x-y)(x^{2} +xy +y^{2})= (x-y)[(x-y)^{2} +2xy +xy]= t(t^{2}+3v) \\ x^{2}y- xy^{2}= (x-y)xy= tv \\ \\[12pt] \begin{array}{|l} t(t^{2}+3v)= 26 \\[6pt] tv= 6 \end{array} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{array}{|l} tv= 6 \\[6pt] \dfrac{t^{2} +3v}{v}= \dfrac{13}{3} \end{array} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{array}{|l} tv= 6 \\[6pt] 3t^{2} +9v= 13v \end{array} \\[6pt] \quad \Leftrightarrow \quad \begin{array}{|l} tv= 6 \\[6pt] v=\dfrac{3t^{2}}{4} \end{array} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{array}{|l} 3t^{3}= 6\cdot{4} \\[6pt] v=\dfrac{3t^{2}}{4} \end{array} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{array}{|l} t= 2 \\[6pt] v=3 \end{array} \\[12pt] \begin{array}{|l} x- y =2 \\[6pt] (y+2)y= 3 \end{array} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{array}{|l} x= y+2 \\[6pt] y^{2} +2y -3= 0 \end{array} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{array}{|l} x= y+2 \\[6pt] y_{1,2}=\dfrac{-1\pm\sqrt{1^{2}-1\cdot{(-3)}}}{1} \end{array} \\[6pt] \quad \Leftrightarrow \quad \begin{array}{|l} x= y+2 \\[6pt] y_{1,2}=-1\pm{2} \end{array} \quad \Rightarrow \quad \begin{array}{|l} x_{1}= -1 \\[6pt] y_{1}=-3 \end{array} \quad \cup \quad \begin{array}{|l} x_{2}= 3 \\[6pt] y_{2}=1 \end{array}$

Скрит текст: покажи

$\begin{array}{|l} t(t^{2}+3v)= 26 \\[6pt] tv= 6 \end{array} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{array}{|l} t^{3}+3tv= 26 \\[6pt] 3tv= 18 \end{array} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{array}{|l} t^{3}= 8 \\[6pt] tv= 6 \end{array} \quad \Leftrightarrow \quad \cdots $

[S.B.]

Да се реши системата:

[tex]\begin{array}{|l} x^{3 } - y^{3 } = 26 \\ x^{2 }y - x y^{2 } = 6 \end{array}[/tex]

Моля за помощ!

Аз разсъждавам по същия начин, както разсъждава и колегата grav.Очаквах ,че той ще доразвие идеята,но той не го направи.Мисля,че няма да ми се разсърди ако аз сторя това

Очевидно е, че двойката (0,0) не е решение , също така [tex]x \ne y[/tex]

[tex]\begin{array}{|l} x^{3 } - y^{3 } = 26 \\ x^{2 }y - x y^{2 } = 6 |.(-3)\end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} x^{3 } - y^{3 } = 26 \\-3 x^{2 }y + 3x y^{2 } = -18 \end{array}[/tex]

Събирам почленно уравненията и получавам:

[tex]x^{3 } - 3 x^{2 }y + 3x y^{2 } - y^{2 } = 8 \Leftrightarrow (x - y)^{3 } = 2^{3 }[/tex]
$$\Rightarrow x - y = 2$$
Преработвам второто уравнение:
[tex]x^{2 }y - x y^{2 } = 6 \Leftrightarrow xy(x - y) = 6 \Leftrightarrow xy.2 = 6[/tex]
$$\Rightarrow xy = 3$$

Образувам системата:
[tex]\begin{array}{|l} x - y = 2 \\ x. y = 3 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} x = 2 + y \\ y(2+y) = 3 \end{array} \Leftrightarrow y^{2 }+2y -3 = 0 , D = 16 , y_{1,2 } = \frac{-2 \pm 4 }{2} , y_{1 } = 1 , y_{2 } = -3[/tex]

$$(x_{1 } = 3 , y_{1 } = 1) ; (x_{2 } = -1 , y_{2 }= -3) $$