Докажете тъждеството

[persy555]

((sqrt(1-x)/(sqrt(1+x)+sqrt(1-x))) + ((1-x)/(sqrt(1-x^2) -1 +x)))/sqrt(1/x^2 -1) = 1 при 0 < x < 1; -1 при -1 < x < 0

[Knowledge Greedy]

Доколкото успях да разчета условието, трябва да докажем, че даденото равенство е еквивалентно на тъждеството по-долу при [tex]\forall \in (0;1)[/tex]
[tex]\frac{ \sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x}+ \sqrt{1-x}}+\frac{1-x}{ \sqrt{1-x^2} -1 +x}=\sqrt{\frac{1}{x^2} -1}[/tex]
Доказателство:
Ако представим числителя [tex](1-x)[/tex] на втората дроб като квадрат [tex]1-x=\left (\sqrt{1-x} \right )^2[/tex], а знаменателя ѝ [tex]\sqrt{1-x^2} -1 +x[/tex]
разложим на множители: [tex]\sqrt{1-x^2} -1 +x=\sqrt{(1-x)(1+x)} -(1 -x)=\sqrt{(1-x)}\sqrt{1+x}-\left (\sqrt{1-x} \right )^2=[/tex]
[tex]=\sqrt{1-x}\left (\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x} \right )[/tex],
то след съкращаване
[tex]\frac{1-x}{ \sqrt{1-x^2} -1 +x}=[/tex][tex]\frac{\left (\sqrt{1-x} \right )^\cancel{2}}{\cancel{\sqrt{1-x}}\left (\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x} \right )}[/tex]
Така лявата страна на равенството придобива вида
[tex]L=\frac{ \sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x}+ \sqrt{1-x}}+\frac{ \sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x}- \sqrt{1-x}}[/tex]
След привеждане към общ знаменател
[tex]L=\frac{ \sqrt{1-x}[(\sqrt{1+x}- \cancel{\sqrt{1-x}})+(\sqrt{1+x}+ \cancel{\sqrt{1-x}})]}{(\sqrt{1+x})^2- (\sqrt{1-x})^2}[/tex]

[tex]L=\frac{2\sqrt{1+x}\sqrt{1-x}}{1+x-(1-x)}=\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}[/tex]
Но при [tex]\forall \in (0;1)[/tex] дясната страна точно същата. Това доказва първата част на задачата.
_______________
Разликата със случая [tex]\forall \in (-1;0)[/tex] е следната. Дясната страна (респективно знаменателят на първоначалната лява страна) е [tex]\sqrt{\frac{1}{x^2} -1}=\sqrt{\frac{1-x^2}{x^2}}=\frac{\sqrt{1-x^2}}{|x|}=-\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}[/tex]
Поради тази причина в знаменателя на първоначалната лява страна се появява [tex](-1)[/tex] и равенството става тъждество във вида
[tex]\frac{ \sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x}+ \sqrt{1-x}}+\frac{1-x}{ \sqrt{1-x^2} -1 +x}=-\sqrt{\frac{1}{x^2} -1}[/tex]