Защо?

[Гост]

Кога и защо го правим това действие?

[KOPMOPAH]

Това действие се нарича "рационализиране". Целта му е да няма ирационално число, в случая $\sqrt 6$ в знаменателя. Когато се умножат числителят и знаменателят с едно и също число, стойността на дробта не се променя.$$\frac 5{2\sqrt 6}=\frac 5{2\sqrt 6}.\frac {\sqrt 6}{\sqrt 6}=\frac {5\sqrt 6}{2\left(\sqrt 6\right)^2}=\frac {5\sqrt 6}{2.6}=\frac {5\sqrt 6}{12}$$Но има и още по-интересно - при дроби от типа $\frac 1{\sqrt a \pm \sqrt b}$ числителят и знаменателят се умножават с $\sqrt a \mp \sqrt b$ , корените са същите, знакът между тях е сменен.

Например$$\frac 1{\sqrt 5 - \sqrt 2}=\frac 1{\sqrt 5 - \sqrt 2}.\frac {\sqrt 5 + \sqrt 2}{\sqrt 5 + \sqrt 2}=\frac {\sqrt 5 + \sqrt 2}{\left(\sqrt 5\right)^2-\left(\sqrt 2\right)^2}=\frac {\sqrt 5 + \sqrt 2}{5-2}=\frac {\sqrt 5 + \sqrt 2}3$$

[ammornil]

Действието се нарича рационализиране на знаменателя на дроб. Обикновено, когати имаме операции с дроби, искаме знаменателят да е рационалано число, защото така НОК (най-малкото общо кратно) се намира по-лесно и допълнителните множители при събиране или изваждане на дроби не съдържат корени, което прави сметките по-лесни.

При рационализирането на знаменателя задаваме въпроса: С какво (с колко) трябва да умножа числителя и знаменателя на дробта, за да изчезне корена в знаменател?

Примери:

(а) [tex]\frac{8x-2}{2\sqrt[5]{3}}[/tex]
Понеже имаме едночлен, който съдържа едиснтвен корен, достатъчно е да умножим с корен със същия коренен показател, чиято подкоренна величина допълва дадената степен до коренния показател. В примера, имаме пети корен от 3 на първа степен, значи трябва да умножим с пети корен от три на четвърта степен (допълваме степента на подкоренната величина до коренния показател). За да се запази дробта, умоножаваме едновременно числителя и знаменателя.

[tex]\frac{8x-2}{2\sqrt[5]{3}}.\frac{\sqrt[5]{3^{4}}}{\sqrt[5]{3^{4}}}=\frac{(8x-2)\sqrt[5]{3^{4}}}{2\sqrt[5]{3^{5}}}=\frac{(8x-2)\sqrt[5]{3^{4}}}{2.3}=\frac{(8x-2)\sqrt[5]{3^{4}}}{6}[/tex]

Изразът може допълнително да се опрости:
[tex]\frac{(8x-2)\sqrt[5]{3^{4}}}{6}=\frac{2(4x-1)\sqrt[5]{3^{4}}}{6}=\frac{\sqrt[5]{3^{4}}(4x-1)}{3}[/tex]

(б) [tex]\frac{8x-2}{2-\sqrt{3}}[/tex]
Когато имаме многочлен в знаменател, обикновено умножаваме така, че да допълним израза в знаменателя до формула за съкратено умножение. В нашия случай, ще умнoжим със сбора на едночлените на знаменателя за да получим сбор по разлика.

[tex]\frac{8x-2}{2-\sqrt{3}}.\frac{2+\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}=\frac{(8x-2)(2+\sqrt{3})}{2^{2}-(\sqrt{3})^{2}}=\frac{(8x-2)(2+\sqrt{3})}{4-3}=(8x-2)(2+\sqrt{3})[/tex]

(в) [tex]\frac{8x-2}{2-\sqrt[3]{3}}[/tex]
Когато имаме многочлен в знаменател, обикновено умножаваме така, че да допълним израза в знаменателя до формула за съкратено умножение. В нашия случай, ще умнoжим с дългата част на формулата за разлика на трети степени.
[tex](a-b)\underline{(a^{2}+ab+b^{2})}=a^{3}-b^{3}[/tex]

[tex]\frac{8x-2}{2-\sqrt[3]{3}}.\frac{2^{2}+2\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{3^{2}}}{2^{2}+2\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{3^{2}}}=\frac{(8x-2)(2^{2}+2\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{3^{2}})}{2^{3}-(\sqrt[3]{3})^{3}}=\frac{(8x-2)(2^{2}+2\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{3^{2}})}{8-3}=\frac{(8x-2)(2^{2}+2\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{3^{2}})}{5}[/tex]

[KOPMOPAH]

Хубаво и добре обяснено. Дано някой да го прочете и разбере.

[Гост]

Благодаря ви и на двамата!
Въпрос към последната подточка в)
Не може ли да стане като подточка б), да умножим със знаменателя, но с обратен знак и защо?

[ammornil]

Благодаря ви и на двамата!
Въпрос към последната подточка в)
Не може ли да стане като подточка б), да умножим със знаменателя, но с обратен знак и защо?

Трябва да получим израз, в който коренът става на същата степен като коренния показател. При третата степен, ако направим както казвате няма да има желания резултат, защото коренът няма да изчезне. В знаменател ще имаме:

[tex](2-\sqrt[3]{3})(2+\sqrt[3]{3})=2^{2}-(\sqrt[3]{3})^{2} =4 - \sqrt[3]{3^{2}}[/tex]

Ако в сбора има трети корен от три на втора пак няма да се получи, защото:
[tex](2-\sqrt[3]{3})(2+ \sqrt[3]{3^{2}})=4+2 \sqrt[3]{3^{2}}-2 \sqrt[3]{3}- \sqrt[3]{3^{3}}=4+2 \sqrt[3]{3^{2}}-2 \sqrt[3]{3}-3=1+2 \sqrt[3]{3^{2}}-2 \sqrt[3]{3}[/tex]

Принципът е да допълним до формула:
[tex]\sqrt[n]{a^{m}}.\sqrt[n]{a^{n-m}}=a[/tex]
[tex](a \pm b)(a \mp b) = a^{2} - b^{2}[/tex]
[tex](a \pm b)(a^{2} \mp ab +b^{2})= a^{3} \pm b^{3}[/tex]