Докажете, че.. (корени)

[Гост]

Може ли да ми помогнете за тезии, мерси предварително

Докажете, че е ирационално:
[tex]\sqrt{3}[/tex]
[tex]\sqrt{5}[/tex]
[tex]2 +\sqrt{3}[/tex]
[tex]\sqrt{2}+\sqrt{3}[/tex]

За корен от 3 и от 5 май го разбрах, като примерно за тройката допускам, че съществува несъкратима дроб [tex]\frac{p}{ q}[/tex], на която е равно [tex]\sqrt{3}[/tex] и получих, че [tex]3q^{2 } = p^{2 }[/tex]. После доказвам, че ако [tex]q^{2 }[/tex] е четно число, както целият израз от лявата страна, така и този от дясната ще са равни на четно число. Това обаче противоречи на допускането, че [tex]p/q[/tex] е несъкратима дроб и после остава само случая, в който [tex]q^{2 }[/tex] и [tex]p^{2 }[/tex] са нечетни числа. Заменям в горното уравнение [tex]q[/tex] с [tex]2m + 1[/tex], а [tex]p[/tex] - с [tex]2n + 1[/tex] ии после се получава уравнение, в което лявата страна е равна на четно число, а дясната - на нечетно или обратното беше => не е вярно това равенство, ии тогава остава само първия случай, ама той противоречи на допускането => [tex]\sqrt{3}[/tex] e ирационално число...Та по този начин дали е правилно ии как да докажа последните две, че са ирационални. Ако правилно съм го направил, значи съм доказал, че [tex]\sqrt{3}[/tex] е ирационално число, обаче не знам какво да правя с тая двойка...И в последния израз и корен от 3, и корен от 2 явно са ирационални, обаче как да докажа, че цялото е ирационално? Не знам, нещо не ми е особено ясно.

Иии тази задача също не знам какво да я правя:
Докажете, че [tex]\sqrt{111...1 - 222...2} = 333...3[/tex], където единиците са 2n на брой, двойките - n, а тройките също са n на брой.

[0xdeadbeef]

Нека [tex]2 + \sqrt{3} \in \mathbb{Q}[/tex], тогава, [tex]2 + \sqrt{3} = \frac{a}{b}[/tex]. Преобразуваме последното

[tex]\sqrt{3} = \frac{a}{b} - 2 = \frac{a -2b}{b}[/tex], тук получаваме противоречие, понеже [tex]a[/tex] и [tex]b[/tex] са цели числа. За [tex]\sqrt{2} + \sqrt{3}[/tex] е аналогично.

[tex]111 \dots 1 = 10^0 + 10^1 + 10^2 + \dots +10^n + 10^{n+1} + 10^{n+2} + \dots + 10^{n+n = 2n}[/tex] (2n-пъти) [tex]\small(1)[/tex]

[tex]222 \dots 2 = 2.10^{0} + 2.10^{1} + 2.10^2 + \dots + 2.10^{n}[/tex] (n-пъти) [tex]\small(2)[/tex]

Изваждаме [tex]\small(1)[/tex] и [tex]\small(2)[/tex], имаме

[tex]10^{n+1} + 10^{n+2} + \dots + 10^{2n} - ( 10^0 + 10^1 + 10^2 + \dots +10^n ) = 10^{0}(10^{n} - 1) + 10^{1}(10^n - 1) + \dots + 10^n(10^n - 1)[/tex].

[tex]= (10^n -1)( 10^0 + 10^1 + 10^2 + \dots +10^n)[/tex].

Сега [tex]10^n - 1 = 999 \dots 9 = 9 (10^0 + 10^1 + 10^2 + \dots +10^n)[/tex] (n-пъти), дотук

[tex](10^n -1)( 10^0 + 10^1 + 10^2 + \dots +10^n) = 9( 10^0 + 10^1 + 10^2 + \dots +10^n)^2[/tex], последното коренуваме,

имаме [tex]3( 10^0 + 10^1 + 10^2 + \dots +10^n) = 333\dots3[/tex] (n-пъти)

[Гост]

Първите 4 задачи се решават по един и същ начин с помощта на следната теорема:
Ако p/q e рационален корен на уравнението [tex]a_0x^n+...+a_n=0[/tex], то p e делител на a_n, а q на а_0.
Ето ти и доказателство http://en.wikipedia.org/wiki/Rational_root_theorem.
Пример с [tex]\sqrt{2}+\sqrt{3}[/tex]:
Нека [tex]x=\sqrt{2}+\sqrt{3}[/tex] тогава [tex]x-\sqrt{2}=\sqrt{3}[/tex] или след повдигане на квадрат:[tex]x^2-2\sqrt{2}x=1 \Rightarrow x^2-1=2\sqrt{2}x[/tex]. Пак повдигаме на квадрат и получаваме, че [tex]x^4-2x^2-8x+1=0[/tex].
Т.е [tex]\sqrt{2}+\sqrt{3}[/tex] е корен на това уравнение. Ако допуснем, че [tex]\sqrt{2}+\sqrt{3}[/tex] е рационално, следва(от теоремата), че е или 1 или -1, което е абсурд.
Упътване за последната задача: Ако е дадено числото n=а...а (а се повтаря к-пъти) [tex]n=a\frac{10^k-1}{9}[/tex]

[Гост]

Мерси за отговорите!! Имам обаче още няколко неща, които не ги разбирам.

В решението на tautochrone примера с [tex]2 + \sqrt{3}[/tex] : Защо [tex]\frac{a-2b}{ 2}[/tex] противоречи на това,че [tex]a[/tex] и [tex]b[/tex] са цели числа?
Ии за решението с единиците , двойките и тройките да питам нещо
При изваждането на (1) от (2), след първия знак равно, имаме [tex]10^{0 } (10^{n } - 1)[/tex] , обаче като я развием тази скоба се получава [tex]10^{n } - 10^ {0 }[/tex]. За [tex]- 10^ {0 }[/tex] ми е ясно, обаче [tex]10^ {n }[/tex] , което да е със знак плюс, къде имаме в предното уравнение? И после към края, когато от [tex]10^{n }[/tex] изваждаме единицата, защо после в скобата след девятката отново имаме [tex]10^{n }[/tex] , тоест, така излиза, че деветките ще са толкова на брой, колкото и единиците, обаче не трябва ли деветките да са с една по-малко?

Гост, в тази формула кое се гледа, за да се стигне до извода, че ако [tex]\sqrt{2} + \sqrt{3}[/tex] е рационално, ще е равно на 1 или -1?

[0xdeadbeef]

Мани го това което съм писал горе, сега като го погледнах пак, прилича на нагласено . Ползваме формулата от горния пост. [tex]a = 111\dots1 = \frac{10^{2n} -1}{9}[/tex], [tex]b = 222\dots2 = 2\frac{10^{n} - 1}{9}[/tex].

[tex]\sqrt{a-b} = \sqrt{\frac{1}{9}(10^{2n} -2.10^{n} + 1)} = \sqrt{\frac{1}{9}(10^n -1)^2} = \frac{1}{3}(10^n - 1) = 3\frac{10^n - 1}{9}[/tex].

А, тази [tex]\sqrt{2} + \sqrt{3}[/tex], нали си доказал, че [tex]\sqrt{3}[/tex] е ирационално, a достигаме извода, че [tex]\sqrt{3}[/tex] се представя като частно на 2 цели числа.

[Гост]

Мерси отново!
Иначе, сега ще се опитам да реша един от четирите примера горе по дадената формула да ме поправите, ако не съм разбрал нещо..

[tex]x^{2 } = (2 + \sqrt{3})^{2 }[/tex]
[tex]x^{2 } = 4 + 4\sqrt{3} + 3[/tex]
[tex](x^{2 } - 7)^{2 } = (4\sqrt{3})^{2 }[/tex]
[tex]x^{4 } - 14x^{2 } + 49 = 48[/tex]
[tex]x^{4 } - 14x^{2 } + 1 = 0[/tex]

И сега,доколкото разбрах, ама не съм сигурен, p-то ми е цял делител на свободния член (единицата),а q-то ми е коефициента пред най-високата степен - 1 пак. И оттука х като ми е ± [tex]\frac{p}{q }[/tex] , значи трябва да е или 1, или -1, обаче тъй като [tex]2 + \sqrt{3}[/tex] очевидно е повече и от двете, не е рационално...Правилно ли съм го разбрал?

[Гост]

А, тази [tex]\sqrt{2} + \sqrt{3}[/tex] ...

Пардон, [tex]2 + \sqrt{3}[/tex] трябва да пише.

... а q-то ми е коефициента пред най-високата степен - 1 пак. ...

[tex]q[/tex] са делителите на старшия коефициент.