Знача с много корени...

[qwerty12]

Моля, помогнете за тази задача

Благодаря

[alexander_ivanov]

нека [tex]x=\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+...}}}[/tex]

[tex]=>x>0[/tex]

[tex]=>x=\sqrt{6+x}[/tex] [tex]=>x^2=6+x => x^2-x-6=0 <=> (x+2)(x-3)=0 =>x=-2;3[/tex] oт [tex]x>0 => x=3[/tex]

[tex]=>\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+...}}}=3[/tex]

[Добромир Глухаров]

Всъщност търсим границата на рекурентно зададената редица [tex]a_{n+1}=\sqrt{6+a_n}[/tex], като очевидно [tex]a_0>0[/tex].

Имаме две възможности за [tex]a_n[/tex]:

1.) [tex]0<a_n<3\ \Rightarrow\ a_{n+1}-a_n=\sqrt{6+a_n}-a_n=\frac{6+a_n-a_n^2}{\sqrt{6+a_n}+a_n}=\frac{(3-a_n)(2+a_n)}{\sqrt{6+a_n}+a_n}>0\\ \Rightarrow\ a_{n+1}>a_n[/tex]

2.) [tex]a_n>3\ \Rightarrow\ a_{n+1}-a_n=\sqrt{6+a_n}-a_n=\frac{6+a_n-a_n^2}{\sqrt{6+a_n}+a_n}=\frac{(3-a_n)(2+a_n)}{\sqrt{6+a_n}+a_n}<0\\ \Rightarrow\ a_{n+1}<a_n[/tex]

Следователно редицата [tex]\{a_n\}_{n=0}^{\infty}[/tex] има поне една точка на сгъстяване - [tex]l>0[/tex].

[tex]l=\lim_{n\to\infty}a_n;\ \lim_{n\to\infty}a_{n+1}=\sqrt{6+\lim_{n\to\infty}a_n}\ \Rightarrow\ l=\sqrt{6+l}\ \Rightarrow\ l=3[/tex].

Следователно редицата [tex]\{a_n\}_{n=0}^{\infty}[/tex] монотонно клони към [tex]3[/tex].

[Гост1]

Към alexander_ivanov - по принцип в подобни задачи е хубаво да се показва, че границата наистина съществува, както е направил Добромир Глухаров.
И още нещо - докажете, че [tex]a_n>3-\frac{1}{5^{n-1}}[/tex].

[qwerty12]

О, да! Супер! Много благодаря. Не е толкова сложна. А с интеграл може ли да се реши. Питам просто от любопитство.

[Добромир Глухаров]

И още нещо - докажете, че [tex]a_n>3-\frac{1}{5^{n-1}}[/tex].

Опитах с индукция, но нещо не ми се получава:

[tex]n=0 \Rightarrow a_0>0>-2=3-5=3-\frac{1}{5^{0-1}}[/tex] - изпълнено.

Нека [tex]a_n>3-\frac{1}{5^{n-1}}[/tex]

[tex]a_{n+1}=\sqrt{6+a_n}>\sqrt{6+3-\frac{1}{5^{n-1}}}=3\sqrt{1-\frac{1}{9.5^{n-1}}}>3\(1-\frac{1}{18.5^{n-1}}\)=[/tex]
[tex]=3\(1-\frac{1}{3.\frac{6}{5}.5^n}\)>3-\frac{1}{5^n}[/tex]

Тук, обаче, при индуктивната стъпка съм използвал, че [tex]\sqrt{1-x}>1-\frac{x}{2}[/tex] за [tex]x>0[/tex], което очевидно не е вярно. Някак трябва да се използва, че [tex]\frac{6}{5}>1[/tex], но не знам как.