Ирационални уравнения с два радикала

[gab4eto_pz11]

задачите са на снимката, благодаря предварително

[ammornil]

[tex]\sqrt{\frac{2x+2}{x+2}}-\sqrt{\frac{x+2}{2x+2}}=\frac{7}{12} \\
\vspace{10} \\
ДМ \begin{array}{|l}x+2 \ne 0 \\ 2x+2 \ne 0 \\ \frac{2x+2}{x+2} \ge 0 \\ \frac{x+2}{2x+2} \ge 0 \end{array} \hspace{5 mm} \Leftrightarrow \hspace{5 mm} \begin{array}{|l}x \ne -2 \\ x \ne -1 \\ x \in (-\infty; -2) \cup [-1; +\infty) \\ x \in (-\infty; -2] \cup (-1; +\infty) \end{array} \hspace{5 mm} \Leftrightarrow \hspace{5 mm} x \in (-\infty; -2) \cup (-1; +\infty)\\ \\[/tex]

Нито една от подкоренните величини не може да бъде равна на нула, защото при така определеното ДМ всеки от изразите в числител е различен от нула. Затова можем да направим следното полагане:
[tex]\cyr{DM}u: \hspace{12 mm} u \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty) \\
\frac{2x+2}{x+2}=u \ne 0 \hspace{12 mm} \Rightarrow \hspace{5 mm} \frac{x+2}{2x+2}=\frac{1}{u}[/tex]

Началното условиe придобива вида:
[tex]\sqrt{u}-\sqrt{\frac{1}{u}}=\frac{7}{12} \hspace{24 mm} |(...)^2\\
\vspace{5} \\
(\sqrt{u})^2-2.\sqrt{u}.\frac{1}{\sqrt{u}}+(\sqrt{\frac{1}{u}})^2=\frac{49}{144} \\
\vspace{5} \\
u-2+\frac{1}{u}-\frac{49}{144}=0 \\
\vspace{5} \\
144u^2-288u+144-49u=0\\
\vspace{5} \\
144u^2+337u+144=0\\
\vspace{5} \\
u_{_{1,2}}=\frac{-337 \pm \sqrt{337^{^{2}}-4.144.144}}{2.144}=\frac{-337 \pm \sqrt{113569-82944}}{288}=\frac{-337 \pm \sqrt{30625}}{288}\\
\vspace{5} \\
u_{_{1,2}}=\frac{-337 \pm 175}{288} \\
\vspace{5} \\
u_{_{1}}=\frac{-337-175}{288}=\frac{512}{288}=\frac{2^{^{9}}}{2^{^{5}}.3^{^{2}}}=\frac{16}{9} \in \cyr{DM}u\\
\vspace{5} \\
u_{_{2}}=\frac{-337+175}{288}=\frac{162}{288}=\frac{2.3^{^{4}}}{2^{^{5}}.3^{^{2}}}=\frac{9}{16} \in \cyr{DM}u[/tex]

Връщаме се в полагането:
[tex]\frac{2x+2}{x+2}=u_{_{1}} \hspace{116 mm} \cup \hspace{36 mm} \frac{2x+2}{x+2}=u_{_{2}}\\
\vspace{5} \\
\frac{2x+2}{x+2}=\frac{16}{9} \hspace{120 mm} \cup \hspace{36 mm} \frac{2x+2}{x+2}=\frac{9}{16} \\
\vspace{5} \\
18x+18=16x+32 \hspace{58 mm} \cup \hspace{36 mm} 32x+32=9x+18\\
\vspace{5} \\
2x=14 \hspace{136 mm} \cup \hspace{36 mm} 23x=-14 \\
\vspace{5} \\
x_{_{1}}=7 <-1 \Rightarrow \in \cyr{DM} \hspace{44 mm} \cup \hspace{36 mm} x_{_{2}}=-\frac{14}{23} >-1 \Rightarrow \in \cyr{DM}[/tex]

Отг. [tex]-\frac{14}{23}[/tex] и 7.

[monika_at]

Решението не е съвсем коректно и е много дълго.
1) [tex]u=\frac{3}{4 }[/tex] не е решение, защото заместено в
положеното ирационално уравнение не го превръща във вярно числово равенство:
[tex]\frac{3}{ 4} -\frac{4}{ 3} =-\frac{7}{ 12}[/tex]

2)Най-добре е да положим [tex]\sqrt{\frac{2x+2}{ x+2} } =t>0=>12t^2-7t-12=0=>t_1=\frac{4}{3 } ; t_2=-\frac{3}{ 4} <0[/tex] =>не е решение.
Тогава: [tex]\frac{2x+2}{x+2 } =\frac{4}{ 3} =>x=7[/tex]

3)Когато се повдига на втора уравнение, на което едната страна е разлика на радикали (с четен коренен показател)се изисква условие за неотрицателност на тази страна. Аз, за да избегна досадно неравенство в този случай, просто прехвърлям корена пред който има минус в другата страна. Така размествам събираемите, че да съм сигурна, че страните имат еднакви знаци.

[ammornil]

Решението не е съвсем коректно и е много дълго.
1) [tex]u=\frac{3}{4 }[/tex] не е решение, защото заместено в
положеното ирационално уравнение не го превръща във вярно числово равенство:
[tex]\frac{3}{ 4} -\frac{4}{ 3} =-\frac{7}{ 12}[/tex]

2)Най-добре е да положим [tex]\sqrt{\frac{2x+2}{ x+2} } =t>0=>12t^2-7t-12=0=>t_1=\frac{4}{3 } ; t_2=-\frac{3}{ 4} <0[/tex] =>не е решение.
Тогава: [tex]\frac{2x+2}{x+2 } =\frac{4}{ 3} =>x=7[/tex]

3)Когато се повдига на втора уравнение, на което едната страна е разлика на радикали (с четен коренен показател)се изисква условие за неотрицателност на тази страна. Аз, за да избегна досадно неравенство в този случай, просто прехвърлям корена пред който има минус в другата страна. Така размествам събираемите, че да съм сигурна, че страните имат еднакви знаци.

Точно така: Прави се проверка задължително! Благодаря! Този момент наистина го пропуснах. Моля да ме извините за това. Благодаря за навременната корекция!

радикалът е равен на t => [tex]\sqrt{\frac{2x+2}{x+2 }} =\frac{4}{ 3}[/tex]

Предложеното решение е подробно (може би повече от нужното) но исках да покажа повече стъпки в разсъжденията.

[monika_at]

ammornil, нищо лично. Напротив, много са ми симпатични постовете ти и ти самият:)

В крайна сметка никой не е безгрешен и идеята е да се учим един от друг.

[gab4eto_pz11]

благодаря, в момента са ми нужни идеи по последните две задачи, другите ги оправих

[monika_at]

Кое не е ясно по тях?

[gab4eto_pz11]

не знам как да ги реша

[ammornil]

3a)
[tex]\sqrt{5x+1}+\sqrt{x+5}=0 \\
ДМ \hspace{10 mm} \begin{array}{|l}5x+1 \ge0 \\ x+5 \ge 0 \end{array} \hspace{5 mm} \Rightarrow \hspace{5 mm} \begin{array}{|l}x \ge -\frac{1}{5} \\ x \ge -5 \end{array} \hspace{5 mm} \Rightarrow \hspace{5 mm} x \in [-\frac{1}{5}; +\infty)[/tex]

понеже корените са неотрицателни числа единствен вариант да има решение е когато и двата корена са едновременно равни на нула. следователно единственото евентуално решение се дава със системата:

[tex]\begin{array}{|l}5x+1=0 \\ x+5=0 \end{array} \hspace{5 mm} \Rightarrow \hspace{5 mm} \begin{array}{|l} x=-\frac{1}{5} \\ x=-5 \end{array} \hspace{5 mm} \Rightarrow \hspace{5 mm} x \in \oslash[/tex]

системата е несъвместима следователно няма решения на даденото уравнение.

[ammornil]

3б)
[tex]\sqrt{x-3} -\sqrt{x+9} = \sqrt{x-2} \\
ДМ \hspace{10 mm} \begin{array}{|l} x-3 \ge 0 \\ x+9 \ge 0 \\ x-2 \ge 0 \end{array} \hspace{5 mm} \Rightarrow \hspace{5 mm}
\begin{array}{|l} x \ge 3 \\ x \ge -9 \\ x \ge 2 \end{array}, \hspace{5 mm} \Rightarrow \hspace{5 mm} x \in [3; +\infty) \\
\vspace{10} \\
\sqrt{x-3}= \sqrt{x-2} +\sqrt{x+9} \hspace{12 mm} |(...)^{2} \\
x-3=x-2+2.\sqrt{(x-2).(x+9)}+x+9 \\
2.\sqrt{(x-2).(x+9)}=x-3-2x-7 \\
2.\sqrt{(x-2).(x+9)}=-x-10[/tex]

изразът отляво е положителен за всяко Х от ДМ, а изразът отдясно е строго отрицателен за всяко Х от ДМ, следователно уравнението няма решение. написано математически изглежда така:
[tex]\begin{array}{|l}2.\sqrt{(x-2).(x-9)} > 0 \\ -x-10<0 \\ x \ge 3 \end{array} \hspace{5 mm} \Rightarrow \hspace{5 mm} x \in \oslash[/tex]


::..
В подточка в) прехвърли корените пред които има минус отдясно и направи същото като в задача 3б). отново се получава противоречие по знак.

[gab4eto_pz11]

благодаря ви много