Коренуване на комплексно число.

[ET89]

Първо извинявам се, ако не е тук мястото за този въпрос.
Бихте ли ми разложили [tex]\sqrt[6]{a + bi}[/tex], че изпуснах няколко часа и не съм сигурен кой метод да използвам.

[Knowledge Greedy]

Да означим със [tex]z[/tex] числото [tex]\sqrt[6]{a + bi}[/tex].

Тогава [tex]z^6=a + bi[/tex].
Нормиращият множител на това комплексно число е [tex]\sqrt{a^2+b^2}[/tex]
Представяме
[tex]z^6=\sqrt{a^2+b^2} \left ( \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} + \frac{ b}{\sqrt{a^2+b^2}}i \right )[/tex].

Числото [tex]\sqrt{a^2+b^2}[/tex] е положително реално число, за това и числото [tex]r=\sqrt[12]{{a^2+b^2}}[/tex]
е също реално и положително. Това число [tex]r[/tex] е модулът на [tex]z[/tex].

Нека [tex]\varphi[/tex] е аргументът на [tex]z[/tex]. Аргументът [tex]\varphi \in[0;2\pi)[/tex].

Числото [tex]z[/tex] има вида [tex]z=r(cos\varphi +icos\varphi)[/tex] [tex](\ast)[/tex].

И тъй като
[tex]z^6=\sqrt{a^2+b^2}(cos{6\varphi}+isin{6\varphi})[/tex],
то от условията [tex]cos{6\varphi} =\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2} }[/tex] и [tex]sin{6\varphi} =\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2} }[/tex] намираме [tex]cos{\varphi}[/tex] и [tex]sin{\varphi}[/tex], т.е. намираме тригонометричния вид [tex](\ast)[/tex] на основния корен.