[9 клас] Помощ (идеи) с алгебрично уравнение.

[Davids]

Да започна с това, че бих желал, ако някой е открил ключовият начин за решаване, да не (си прави и труда да) описва пълно решение, имам нужда от насока и идея за ключовото преобразувание на следния израз:
[tex]x^{4} + \frac{1}{4} = x\sqrt{2}\sqrt{x^{4} - \frac{1}{4}}[/tex]
След чисто формалното поредно преобразуване по универсалния модел (вдигане на втора и разбор...) достигам до вида:
[tex]16x^{8} - 32x^{6} + 8x^{4} + 8x^{2} + 1 = 0[/tex], откъдето нито Хорнер помага с рационални решения, нито успявам да изгрупирам нещо, за да получа решенията. Това ме навежда на мисълта, че очевидно не е толкова просто
Единственото, което се сещам към настоящия момент е да извадя знаменател [tex]\sqrt{4}[/tex] от корена[tex]\sqrt{x^{4} - \frac{1}{4}}[/tex] и да приравня цялото уравнение, достигайки до вида
[tex]4x^{4} + 1 = 2x\sqrt{2}\sqrt{4x^{4} - 1}[/tex], където съответно се изчерпвам.
Благодаря предварително за идеите!

[Anubis]

Допустимите стойности са [tex]x \ge \sqrt[4]{\frac{1}{4}} \approx 0.71[/tex]. Рационалното уравнение, до което си достигнал, се разлага по следния начин:

[tex]16x^8-32x^6+8x^4+8x^2+1 = \left ( 4x^4-4x^2-1 \right )^2 = 0[/tex].

Корените на уравнението [tex]4t^2-4t-1=0[/tex] са [tex]t_{1,2}=\frac{1 \pm \sqrt{2}}{2}[/tex]. Само положителният ни върши работа. Получаваме

[tex]x^2 = \frac{1+\sqrt{2}}{2}, \, x \ge 0.71 \Rightarrow x = \sqrt{\frac{1+\sqrt{2}}{2}} \approx 1.099\ge 0.71[/tex].

[Davids]

... си достигнал, се разлага по следния начин:

[tex]16x^8-32x^6+8x^4+8x^2+1 = \left ( 4x^4-4x^2-1 \right )^2 = 0[/tex].

Корените на ...

А как по човешки се достига до това разлагане... Как подходи лично ти? Защото не виждам как бих достигнал до това...

[Knowledge Greedy]

С това, което си написал, ти си я решил.

[tex]16x^8−32x^6+8x^4+8x^2+1=0[/tex]

Разделяме на [tex]x^4[/tex] (Явно [tex]x\ne 0[/tex])

[tex]16x^4−32x^2+8+8\frac{1}{x^2}+ \frac{1}{x^4}=0[/tex]

Групираме първото и последното, второто и предпоследното
[tex]16x^4+\frac{1}{x^4}−32x^2+\frac{8}{x^2}+8=0[/tex]

[tex]16x^4+\frac{1}{x^4}−8 \left ( 4x^2-\frac{1}{x^2} \right )+8=0[/tex]

Полагаме [tex]4x^2-\frac{1}{x^2}=t[/tex]

Тогава явно [tex]t^2=16x^4+\frac{1}{x^4}-2.4[/tex],
а уравнението става
[tex]t^2-8t+16=0[/tex]

Разбира се, когато идентифицираш корените, не забравяй предупрежденията на Anubis, относно ограниченията за корена [tex]x[/tex].
_________
Що се отнася до крайния резултат, Anubis има пропуск. Има и отрицателни корени - полиномът на [tex]x[/tex], който си открил е четна функция .

[Davids]

Трябва доста задачки да съм изрешавал, че да се сетя да търся подобно разлагане... Благодаря ви много и на двамата!