Корени

[nikolayk]

Здравейте, да попитам, когато в уравнение се получи [tex]x^{4}[/tex], това двоен корен ли е? Например, получават ми се [tex]x^{4}=0[/tex] и [tex](x^{4}-1)^{4}[/tex] , като свойни корени ли ще се отбелязват на числовата ос?
y=[tex]\frac{x^{4}}{(x^{2}-1)^{4}}[/tex]

[Nathi123]

Ако се е получило уравнението [tex]x^{4} = 0 \Leftrightarrow x.x.x.x.=0\Leftrightarrow x_{1 }=0\cup x_{2 } =0 \cup x_{3 }=0\cup x_{4 } =0[/tex] т.е
x=0 e четирикратен корен на уравнението [tex]x^{4} =0[/tex].
По нататък питането не е формулирано много ясно ,но ако [tex](x^{4}-1)^{4}=0 \Leftrightarrow (x^{2}-1)^{4}.(x^{2}+1)^{4}=0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow (x-1)^{4}.(x+1)^{4}=0\Leftrightarrow x=1\cup x=-1 -[/tex] са четирикратни корени на уравнението [tex](x^{4}-1)^{4}=0[/tex],
защото [tex]x^{2}+1>0[/tex] за всяко [tex]x\in R[/tex].
Но ако се пита ,кои са корените на функцията y=[tex]\frac{x^{4}}{(x^{2}-1)^{4}}[/tex], няма как [tex](x^{2}-1)^{4}=0[/tex] ,защото тогава такава функция не съществува ( не може да се дели с нула). Тази функция у има четирикратен корен х = 0!

[nikolayk]

Ако се е получило уравнението [tex]x^{4} = 0 \Leftrightarrow x.x.x.x.=0\Leftrightarrow x_{1 }=0\cup x_{2 } =0 \cup x_{3 }=0\cup x_{4 } =0[/tex] т.е
x=0 e четирикратен корен на уравнението [tex]x^{4} =0[/tex].
По нататък питането не е формулирано много ясно ,но ако [tex](x^{4}-1)^{4}=0 \Leftrightarrow (x^{2}-1)^{4}.(x^{2}+1)^{4}=0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow (x-1)^{4}.(x+1)^{4}=0\Leftrightarrow x=1\cup x=-1 -[/tex] са четирикратни корени на уравнението [tex](x^{4}-1)^{4}=0[/tex],
защото [tex]x^{2}+1>0[/tex] за всяко [tex]x\in R[/tex].
Но ако се пита ,кои са корените на функцията y=[tex]\frac{x^{4}}{(x^{2}-1)^{4}}[/tex], няма как [tex](x^{2}-1)^{4}=0[/tex] ,защото тогава такава функция не съществува ( не може да се дели с нула). Тази функция у има четирикратен корен х = 0!

Въпросът ми е кои корени ще са двойни, при нанасянето на корените върху числовата ос на:[tex]\frac{x^{4}(x^{2}-5)}{(x^{2}-1)^{3}};[/tex] и кои на: [tex]\frac{4x^{3}(x^{2}+5)}{(x^{2}-1)^{4}};[/tex]

[Knowledge Greedy]

Гледаме числителите. Нито за първата нито за втората има число, което ще анулира числителя двукратно. Извод: и двете функции нямат двойни корени.
По ред. Първият числител [tex]x^4(x^2−5)=0[/tex] има един четворен корен [tex]x_{1,2,3,4}=0[/tex] и два единични [tex]x_5=\sqrt{5}[/tex] и [tex]x_6=-\sqrt{5}[/tex]
Но ако говорим за графика, то тя ще сменя местоположението си спрямо абсцисната ос в [tex]-\sqrt{5}, -1, 1[/tex] и в [tex]\sqrt{5}[/tex] - точките на смяна на знака са освен сред корените, и сред забранените точки - тези, които не са от дефиниционното множество.
В нулата функцията няма да смени знака си, защото коренът е четно-кратен. Т.е. нейната графика ще се докосне до абсцисната ос, но няма да я пресече, а ще остане в едната полуравнина спрямо нея. Нещо такова

Първи етап от чертане на графиката.png (10.29 KiB) Прегледано 2479 пъти

На този етап, вярното от графиката са само нулите, т.е. корените [tex]-\sqrt{5}, 0[/tex] и [tex]\sqrt{5}[/tex]; интервалите на постоянство на знака; както и точките на прекъсване ( [tex]-\sqrt{5}[/tex] и [tex]\sqrt{5}[/tex]- невъзстановимо прекъсване, поради невъзможност за деление на нула).

[nikolayk]

Гледаме числителите. Нито за първата нито за втората има число, което ще анулира числителя двукратно. Извод: и двете функции нямат двойни корени.
По ред. Първият числител [tex]x^4(x^2−5)=0[/tex] има един четворен корен [tex]x_{1,2,3,4}=0[/tex] и два единични [tex]x_5=\sqrt{5}[/tex] и [tex]x_6=-\sqrt{5}[/tex]
Но ако говорим за графика, то тя ще сменя местоположението си спрямо абсцисната ос в [tex]-\sqrt{5}, -1, 1[/tex] и в [tex]\sqrt{5}[/tex] - точките на смяна на знака са освен сред корените, и сред забранените точки - тези, които не са от дефиниционното множество.
В нулата функцията няма да смени знака си, защото коренът е четно-кратен. Т.е. нейната графика ще се докосне до абсцисната ос, но няма да я пресече, а ще остане в едната полуравнина спрямо нея. Нещо такова

Първи етап от чертане на графиката.png

На този етап, вярното от графиката са само нулите, т.е. корените [tex]-\sqrt{5}, 0[/tex] и [tex]\sqrt{5}[/tex]; интервалите на постоянство на знака; както и точките на прекъсване ( [tex]-\sqrt{5}[/tex] и [tex]\sqrt{5}[/tex]- невъзстановимо прекъсване, поради невъзможност за деление на нула).

Благодаря за изчерпателния отговор. Явно в различните учебни заведения се обяснява по различен начин. От мен се иска да нанеса корените които са: за [tex]\frac{x^{4}(x^{2}-5)}{(x^{2}-1)^{3}};[/tex] и на: [tex]\frac{4x^{3}(x^{2}+5)}{(x^{2}-1)^{4}};[/tex] върху числовата ос (лъч), да отбележа в кои интервали е + и в кои -, ако има двойни корени знака не се редува, а се преписва.

[Nathi123]

От коментарите на задаващия въпросите става ясно,че от него се иска да посочи интервали в които дробни функции на х са с положителни стойности и къде са с отрицателни стойности. Те. трябва да е на ясно как се решават дробни неравенства. Дали може да решава такива неравенства? Решаването на дробни неравенства в различните учебни заведения се обяснява по един и същи начин с метода на интервалите!