Разложете на множители

[moni2003petrova]

Тази задачка е лесна,но давайте
x^9 - 1 = 0

[S.B.]

[tex]x^{9}[/tex] - 1 = 0 [tex]\Leftrightarrow[/tex] [tex](x^{3})^{3}[/tex] - [tex]1^{3}[/tex] = 0 [tex]\Leftrightarrow[/tex] ([tex]x^{3}[/tex] - 1)([tex]x^{6}[/tex] + [tex]x^{3}[/tex] + 1) = 0 [tex]\Leftrightarrow[/tex] (х - 1)([tex]x^{2}[/tex] + х + 1)([tex]x^{6}[/tex] + [tex]x^{3}[/tex] + 1) = 0
х - 1 = 0 [tex]\Rightarrow[/tex] х = 1;
[tex]x^{2}[/tex] + х + 1 > 0 за [tex]\forall[/tex] х,тъй като D < 0 и коефициента пред втората степен = 1> 0;
[tex]x^{6}[/tex] + [tex]x^{3}[/tex] + 1,ако [tex]x^{3}[/tex] = t [tex]\Leftrightarrow[/tex] [tex]t^{2}[/tex] + t + 1 >0 за [tex]\forall[/tex]t = [tex]x^{3}[/tex] понеже D < 0 и коеф. пред втората степен е = 1>0
Окончателно: х = 1

[Kre4etalo]

Подобна задача - разложете полинома [tex]x^{15}-1[/tex].

[S.B.]

Подобна задача - разложете полинома [tex]x^{15}-1[/tex].

[tex]x^{15}[/tex] - 1 = [tex](x^{5})^{3}[/tex] - [tex]1^{3}[/tex] = ([tex]x^{5}[/tex] - 1)([tex]x^{10}[/tex] + [tex]x^{5}[/tex] + 1) = ([tex]x^{5}[/tex] - [tex]1^{5}[/tex])([tex]x^{10}[/tex] + [tex]x^{5}[/tex] + 1) = (х - 1)([tex]x^{4}[/tex] + [tex]x^{3}[/tex] + [tex]x^{2}[/tex] + х + 1)([tex]x^{10}[/tex] + [tex]x^{5}[/tex] + 1)
За [tex]x^{5}[/tex] - [tex]1^{5}[/tex] използвам: [tex]x^{n}[/tex] - [tex]y^{n}[/tex] = (x - y)([tex]x^{n - 1}[/tex] + [tex]x^{n - 2}[/tex]y + [tex]x^{n - 3}[/tex][tex]y^{2}[/tex] ........x.[tex]y^{n - 2}[/tex] + [tex]y^{n - 1}[/tex])

[Kre4etalo]

Задачата я дадох с клопка, признавам. Всъщност се оказва, че може да се разложи още - [tex]x^{10}+x^5+1=(x^2+x+1)(x^8-x^7+x^5-x^4+x^3-x+1)[/tex]. Дори не е трудно да се провери, че винаги когато [tex]n[/tex] не е степен на [tex]3[/tex], полиномът [tex]x^{2n}+x^n+1[/tex] има делител [tex]x^2+x+1[/tex].

[pal702004]

Дори не е трудно да се провери, че винаги когато [tex]n[/tex] не е степен на [tex]3[/tex], полиномът [tex]x^{2n}+x^n+1[/tex] има делител [tex]x^2+x+1[/tex].

По-общо полинома $x^{3a}+x^{3b+1}+x^{3c+2}$ има делител $1+x+x^2$

[Kre4etalo]

Всъщност това не е по-общо, от това, което написах, например за [tex]n=6[/tex], но няма как и да бъде, понеже моето не е вярно Вярното е, че ако [tex]n[/tex] не е степен на [tex]3[/tex], полиномът [tex]x^{2n}+x^n+1[/tex] е разложим, и има делител от вида [tex]x^{2k}+x^k+1[/tex]. Разбира се, идеята е същата, само че не винаги ще вземаме [tex]x[/tex] да бъде трети корен на [tex]1[/tex], ами понякога [tex]x^k[/tex] ще бъде такъв (каква е връзката между [tex]n[/tex] и [tex]k[/tex]).
И още една свързана задача - докажете, че ако [tex]n>3[/tex] е просто, то [tex]x^{2n}+x^n+1[/tex] се разлага на точно два неразложими множители (единият вече го знаем).