"Степенно" уравнение

[Добромир Глухаров]

Да се намерят всички реални решения на уравнението $x^x=\frac{\sqrt{2}}{2}$

[ammornil]

Нещо такова може би...?
[tex]x^x= \frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{1^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}} =\left ( \frac{1}{2} \right )^{\frac{1}{2}}[/tex]

Графиката на функцията [tex]f(x)=x^x- \frac{\sqrt{2}}{2}[/tex] твърди, че и [tex]\frac{1}{4}[/tex] е решение, но не виждам как ще се изведе аналитично. Това може и да е приближено решение, тъй като компютърът работи с краен брой знаци след десетична запетая. Ще ми е интересно да видя вярното решение на този проблем.

[Гост]

С предварително логаритмуване, известни преобразувания и графичен метод ще стане.

[Davids]

Ами, честно казано за по-добър начин и аз не се сещам, но това май ще ни стигне:
Нека разгледаме $y = x^x \Rightarrow lny = xlnx$
$\Rightarrow \frac{y'} {y} = lnx + 1 \Rightarrow y' = y(lnx +1) = x^x(lnx + 1)$ и така в дефиниционната област $x>0$ имаме само един локален минимум при $x = e^{-1}$. Понеже функцията е непрекъсната, а $\lim_{x\to 0}y = 1$ и $\lim_{x\to+\infty} y = +\infty$, и освен това $\frac{1}{\sqrt{2}} < 1$, то значи уравнението има точно две решения. Едното, както е посочено горе, е $x_2 = \frac{1}{2} > \frac{1}{e}$, значи остава другото решение да е $x_1 < \frac{1}{e}$. И наистина, тук освен удобното налучкване $x^x = \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{2}} = \left(\frac{1}{4^{\frac{1}{2}}}\right)^{\frac{1}{2}} = \left(\frac{1}{4}\right)^{\frac{1}{4}} \Rightarrow x_1 = \frac{1}{4} $, аз лично за друг по-"аналитичен" начин не мога да се сетя.
Но пък в комбинация с аналитичния извод, че решенията са точно две, можем да броим задачата за решена.

[Добромир Глухаров]

Задачата е взета от ТУК. Друга подобна е $x^{x^5}=5$

[Davids]

Задачата е взета от ТУК. Друга подобна е $x^{x^5}=5$

Абе и тук не видях по-аналитично намиране на корените, значи може би това е била идеята и не се очаква такова. А като тази подобната сме виждали много, можем да ги обобщим до: $x^{x^a} = a$ за $x, a > 1$.
Общо взето полагаме $y = x^a \Rightarrow x = y^\frac{1}{a}$ и така уравнението придобива вида: $y^\frac{y}{a} = a \Rightarrow y^y = a^a \Rightarrow y = a \Rightarrow x = \sqrt[a]{a}$
Аргумента защо има само едно решение може да се направи аналогично на по-горе. По-интересното са двете решения при $0 < a < 1$.

П. П. Алтернативен подход (уповаващ се на факта, че имаме единствено решение), е следният:
$x^{x^a} = a \Rightarrow x^{x^{x^a}} = x^a \Rightarrow x^a = a \Rightarrow x = \sqrt[a]{a}$

[pal702004]

Тази задача е пряко свързана с една класическа задача от теория на числата: Да се намерят всички двойки естествени числа $a < b$ такива, че $a^b=b^a$

Тя може да се реши и с инструментариума на ТЧ, но има и много елегантно решение с помощта на анализа:

$b\ln(a)=a\ln(b)\Rightarrow \dfrac{\ln(a)}{a}=\dfrac{\ln(b)}{b}$

Или функцията $y=\dfrac{\ln(x)}{x}$ да приема равни значения при две различни естествени стойности на аргумента. По нататък с помощта на анализа (вж Davids) намираме че функцията при $x>1$ приема всяка своя стойност в две точки: $x_1<e$ и $x_2>e$ и понеже естественните числа, по-малки от неперовото не са никак много, се стига до единственото решение $(2,4)$

В задачата на Добри при $x=\frac 1 y$ стигаме до $y^2=2^y$ по подобен начин със същите решения за $y$

[math10.com]

Нещо такова може би...?
[tex]x^x= \frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{1^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}} =\left ( \frac{1}{2} \right )^{\frac{1}{2}}[/tex]

Графиката на функцията [tex]f(x)=x^x- \frac{\sqrt{2}}{2}[/tex] твърди, че и [tex]\frac{1}{4}[/tex] е решение, но не виждам как ще се изведе аналитично. Това може и да е приближено решение, тъй като компютърът работи с краен брой знаци след десетична запетая. Ще ми е интересно да видя вярното решение на този проблем.

Ами съвсем нормално е да е решение защото:
[tex](\frac{1}{4})^{\frac{1}{4}}=[(\frac{1}{2})^2]^{\frac{1}{4}}=(\frac{1}{2})^{\frac{2}{4}}=(\frac{1}{2})^{\frac{1}{2}}[/tex]