Докажете равенството. Интересна задача с корени!

[Людмил]

[Davids]

Имаме, че $a = \sqrt{x^2 + \sqrt[3]{x^4y^2}} + \sqrt{y^2 + \sqrt[3]{x^2y^4}}$, искаме да стигнем до заключението, че $a^\frac{2}{3} = x^\frac{2}{3} + y^\frac{2}{3}$.

Нека положим $u = x^\frac{2}{3} \ge 0$ и $v = y^\frac{2}{3} \ge 0$.

Не губим информация с полагането, понеже така или иначе навсякъде в оригиналното условие $x$ и $y$ се появяват на четни степени:
припомняме си, че по дефиниция $x^\frac{m}{n} = \sqrt[n]{x^m}$, така че $x^\frac{2}{3} = \sqrt[3]{x^2} \ge 0$

Задачата придобива вида:
$a = \sqrt{u^3 + \sqrt[3]{u^6v^3}} + \sqrt{v^3 + \sqrt[3]{v^6u^3}} \Longrightarrow a^\frac{2}{3} = u + v$

Хващаме лявата страна и бутаме:

$a = \sqrt{u^3 + \sqrt[3]{u^6v^3}} + \sqrt{v^3 + \sqrt[3]{v^6u^3}}$

$= \sqrt{u^3 + u^2v} + \sqrt{v^3 + v^2u} = $

$= |u|\sqrt{u + v} + |v|\sqrt{v + u} =$

$\stackrel{u, v \ge 0}{=} u\sqrt{u + v} + v\sqrt{u + v} =$

$= (u+v)\sqrt{u + v} = (u + v)^\frac{3}{2}$

И така получихме исканото $a^\frac{2}{3} = u + v = x^\frac{2}{3} + y^\frac{2}{3}$.

[Людмил]

1.11_Otg.jpg (242.19 KiB) Прегледано 1277 пъти