Помощ със задачи с квадратни корени

[Zani4kaaa]

Здравейте!
Имам нужда от малко помощ за две задачи с квадратни корени. На пръв поглед ми изглеждаха лесни, но определено ме затрудниха. Ето ги и тях:
> Опростете: ?(10+2 ?6+ 2?10 +2?15 ); (не се вижда ясно, но целият израз е под корен)
> Пресметнете: ?(|40?2 -57| ) - ?(40 ?2+57 ). (аналогично)

Благодаря предварително!

[Martin Nikovski]

1. [tex]\sqrt{10+2\sqrt6+2\sqrt{10}+2\sqrt{15}}=\sqrt{2\left(5+\sqrt6+\sqrt{10}+\sqrt{15}\right)}=\sqrt{2\left(\sqrt5^2+\sqrt6+\sqrt{10}+\sqrt{15}\right)}[/tex]
Групираме първото с четвъртото и второто с третото и изнасяме общ множител...
[tex]\sqrt{2\left(\sqrt5^2+\sqrt6+\sqrt{10}+\sqrt{15}\right)}=\sqrt{2\left[\sqrt5\left(\sqrt5+\sqrt3\right)+\sqrt2\left(\sqrt5+\sqrt3\right)\right]}=\sqrt{2\left(\sqrt5+\sqrt3\right)\left(\sqrt5+\sqrt2\right)}[/tex]

2. [tex]\sqrt{\left|40\sqrt2-57\right|}-\sqrt{40\sqrt2+57}=\sqrt{\left|-\left(57-40\sqrt2\right)\right|}-\sqrt{40\sqrt2+57}= \sqrt{\left|-\left(25-40\sqrt2+32\right)\right|}-\sqrt{25+40\sqrt2+32}=[/tex]
[tex]=\sqrt{\left|-\left(5^2-2.5.4\sqrt2+\left(4\sqrt2\right)^2\right)\right|}-\sqrt{5^2+2.5.4\sqrt2+\left(4\sqrt2\right)^2}[/tex]
Виждаме, че изразите под корените са формули за съкратено умножение...
[tex]\sqrt{\left|-\left(5^2-2.5.4\sqrt2+\left(4\sqrt2\right)^2\right)\right|}-\sqrt{5^2+2.5.4\sqrt2+\left(4\sqrt2\right)^2}=\sqrt{\left|-\left(5-4\sqrt2\right)^2\right|}-\sqrt{\left(5+4\sqrt2\right)^2}=[/tex]
[tex]=\sqrt{\left(5-4\sqrt2\right)^2}-\sqrt{\left(5+4\sqrt2\right)^2}=\left|5-4\sqrt2\right|-\left|5+4\sqrt2\right|=\cancel{4\sqrt2}-5-5-\cancel{4\sqrt2}=-10[/tex]