Уравнение

[Гост]

Да се намерят стойностите на реалния параметър а, за които уравнението:
Z^4-4z^3+6z^2+az+5=0 има корен z=2-i

Ще ви помоля за съдействие при решаването на задачата.

[ammornil]

Да се намерят стойностите на реалния параметър а, за които уравнението:
Z^4-4z^3+6z^2+az+5=0 има корен z=2-i

Ще ви помоля за съдействие при решаването на задачата.

$$ i^{2k+1}=i\hspace{2em} i^{2k+2}=-1\hspace{2em} i^{2k+3}=-i\hspace{2em} i^{2k+4}=1\hspace{2em} $$
[tex]\Rightarrow i^{1}=i\hspace{2em} i^{2}=-1\hspace{2em} i^{3}=-i\hspace{2em} i^{0}=i^{4}=1\hspace{2em}[/tex]

[tex](2-i)^{4}-4\cdot (2-i)^{3}+6\cdot (2-i)^{2}+a\cdot (2-i)+5=0 \Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow 2^{4}-4\cdot{2^{3}}\cdot{i}+6\cdot{2^{2}}\cdot{i^{2}}-4\cdot{2}\cdot{i^{3}}+i^{4}-4\cdot{(2^{3}-3\cdot{2^{2}}\cdot{i}+3\cdot{2}\cdot{i^{2}}-i^{3})}+6\cdot{(2^{2}-2\cdot{2}\cdot{i}+i^{2})}+a\cdot (2-i)+5=0 \Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow 16-32\cdot{i}+24\cdot{(-1)}-8\cdot{(-1)}\cdot{i}+1 -4\cdot{[8-12\cdot{i}+6\cdot{(-1)}-(-i)]}+6\cdot{[4-4\cdot{i}+(-1)]}+a\cdot (2-i)+5=0 \Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \underline{16} \underline{ \underline{-32i}}\cancel{-24}\underline{ \underline{+8i}} \underline{+1-32}\underline{ \underline{+48i}}\cancel{+24}\underline{ \underline{-4i}}\underline{+24}\underline{ \underline{-24i }}\underline{-6}+a\cdot (2-i) \underline{+5}=0 \Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow a\cdot (2-i)=-8+4i \Leftrightarrow a=\frac{-4(2-i)}{2-i} \Leftrightarrow a=-4[/tex]

[pal702004]

Щом като полином с реални коефициенти има корен $2-i$, то той се дели на $z^2-4z+5$

[Гост]

Благодаря за подробното и точно решение!

[Гост]

Щом като полином с реални коефициенти има корен $2-i$, то той се дели на $z^2-4z+5$

А защо? Може ли да обясните?

[pal702004]

Щом като полином с реални коефициенти има корен $2-i$, то той се дели на $z^2-4z+5$

А защо? Може ли да обясните?

Теорема за комплексно спрегнатите корени

Щом като $z_1=2-i$ е корен, то и $z_2=2+i$ съще е корен. Тогава $z_1+z_2=4, z_1z_2=5$

Или

$z=2-i \Longrightarrow (2-z)=i \Longrightarrow (2-z)^2=-1 \Longrightarrow z^2-4z+5=0$

[Гост]

Благодаря!