КОРЕНИ И СТЕПЕНИ

[mihaela22]

Може ли помощ със следните задаачи

[ammornil]

Свойства на степени:$$a^{\normalsize{m}}\cdot{a^{\normalsize{n}}}=a^{\normalsize{m+n}}\\ \phantom{q} \\ \frac{a^{\normalsize{m}}}{a^{\normalsize{n}}}=a^{\normalsize{m-n}}\\ \phantom{q} \\ a^{\normalsize{-m}}=\frac{1}{a^{\normalsize{m}}}\\ \phantom{q} \\(a^{\normalsize{m}})^{\normalsize{n}}=a^{\normalsize{m\cdot{n}}}\\ \phantom{q} \\ \sqrt[\normalsize{n}]{a^{\normalsize{m}}}=a^{\frac{\normalsize{m}}{\normalsize{n}}}\\ \phantom{q} \\ \sqrt[\normalsize{n}]{\sqrt[\normalsize{m}]{a}} =a^{\frac{\normalsize{1}}{\normalsize{m\cdot{n}}}} \\ \phantom{q} \\ a\cdot{\sqrt[\normalsize{n}]{b}}=\sqrt[\normalsize{n}]{a^{\normalsize{n}}\cdot{b}} \\ \phantom{q} \\ \sqrt[\normalsize{n}]{a}\cdot \sqrt[\normalsize{n}]{b}=\sqrt[\normalsize{n}]{a\cdot b}$$[tex](\sqrt[3]{48}\cdot 2\sqrt{2\sqrt[6]{3}})\div (\sqrt[3]{6}\cdot \sqrt[3]{16\sqrt{2}\sqrt[4]{3}})\\[/tex]Най-напред искам да покажа някой преобразувания за числа от даденото.[tex]\\ 6=2\cdot{3}=2^{1}\cdot{3^{1}},\hspace{1em} 16=2^{4}, \hspace{1em} 48=3\cdot{16}=3^{1}\cdot{2^{4}}\\[/tex]В задачи като тази можем да подходим по много начини. Аз лично предпочитам да запиша всички множители по отделно като степени. За да се вижда какво правя, ще разгледам скобите по отделно. Обикновено първа степен не се записва, а се подразбира, но аз ще я изписвам за да се вижда приложението на свойствата на степените.[tex]\\[/tex]За израза от първите скоби имаме [tex]\\ \sqrt[3]{48}\cdot 2\sqrt{2\sqrt[6]{3}}=(3^{1}\cdot{2^{4}})^{\frac{1}{3}}\cdot{2^{1}}\cdot{(2^{1}\cdot(3^{\frac{1}{6}}))^{\frac{1}{2}}}=(3^{1})^{\frac{1}{3}}\cdot (2^{4})^{\frac{1}{3}}\cdot 2^{1}\cdot (2^{1})^{\frac{1}{2}}\cdot (3^{\frac{1}{6}})^{\frac{1}{2}}=3^{(1\cdot{\frac{1}{3}})}\cdot 2^{(4\cdot{\frac{1}{3}})}\cdot 2^{1}\cdot 2^{(1\cdot{\frac{1}{2}})}\cdot 3^{(\frac{1}{6}\cdot{\frac{1}{2}})}=3^{\frac{1}{3}}\cdot \red{2^{\frac{4}{3}}\cdot 2^{1}\cdot 2^{\frac{1}{2}}}\cdot 3^{\frac{1}{12}}\\[/tex]Степените с еднакви основи могат да се опростят по следния начин:[tex]\\ \red{2^{\frac{4}{3}}\cdot 2^{1}\cdot 2^{\frac{1}{2}}}=2^{(\frac{4}{3}+1+\frac{1}{2})}=2^{\underbrace{\overset{2}{\frac{4}{3}}+\overset{6}{1}+\overset{3}{\frac{1}{2}}}_{6}}=2^{\frac{2\cdot{4}+6\cdot{1}+3\cdot{1}}{6}}=2^{\frac{17}{6}}\\ 3^{\frac{1}{3}}\cdot 3^{\frac{1}{12}}=3^{(\frac{1}{3}+\frac{1}{12})}=3^{(\underbrace{\overset{4}{\frac{1}{3}}+\overset{1}{\frac{1}{12}})}_{12}}=3^{\frac{4\cdot{1}+1\cdot{1}}{12}}=3^{\frac{5}{12}}\\[/tex]Така получихме, че $$ \sqrt[3]{48}\cdot 2\sqrt{2\sqrt[6]{3}}=2^{\frac{17}{6}}\cdot 3^{\frac{5}{12}}$$ Същото трябва да направим и за израза във вторите скоби [tex]\\ \sqrt[3]{6}\cdot \sqrt[3]{16\sqrt{2}\sqrt[4]{3}}=(2^{1}\cdot 3^{1})^{\frac{1}{3}}\cdot (2^{4})^{\frac{1}{3}}\cdot (2^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{3}}\cdot (3^{\frac{1}{4}})^{\frac{1}{3}}=2^{(1\cdot \frac{1}{3})}\cdot 3^{(1\cdot \frac{1}{3})}\cdot 2^{(4\cdot \frac{1}{3})}\cdot 2^{(\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3})}\cdot 3^{(\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{3})}=2^{\frac{1}{3}}\cdot 3^{\frac{1}{3}}\cdot 2^{\frac{4}{3}}\cdot 2^{\frac{1}{6}}\cdot 3^{\frac{1}{12}}\\[/tex]Опростяваме степените с еднакви основи, като събираме степенните показатели[tex]\\ 2^{\frac{1}{3}}\cdot 2^{\frac{4}{3}}\cdot 2^{\frac{1}{6}} =2^{(\underbrace{\overset{2}{\frac{1}{3}}+\overset{2}{\frac{4}{3}}+\overset{1}{\frac{1}{6}}}_{6})}=2^{\frac{2\cdot{1}+2\cdot{4}+1\cdot{1}}{6}}=2^{\frac{11}{6}} \\ 3^{\frac{1}{3}}\cdot 3^{\frac{1}{12}}=3^{(\underbrace{\overset{4}{\frac{1}{3}}+\overset{1}{\frac{1}{12}}}_{12})}=3^{\frac{4\cdot{1}+1\cdot{1}}{12}}=3^{\frac{5}{12}}\\[/tex]Така получихме, че $$ \sqrt[3]{6}\cdot \sqrt[3]{16\sqrt{2}\sqrt[4]{3}}=2^{\frac{11}{6}}\cdot 3^{\frac{5}{12}}$$Остава само да разделим двата израза (знакът за деление ще заместим с дробна черта) [tex]\\ \frac{\sqrt[3]{48}\cdot 2\sqrt{2\sqrt[6]{3}}}{\sqrt[3]{6}\cdot \sqrt[3]{16\sqrt{2}\sqrt[4]{3}}}=\frac{2^{\frac{17}{6}}\cdot 3^{\frac{5}{12}}}{2^{\frac{11}{6}}\cdot 3^{\frac{5}{12}}}=\frac{2^{\frac{17}{6}}\cdot \cancel{3^{\frac{5}{12}}}}{2^{\frac{11}{6}}\cdot \cancel{3^{\frac{5}{12}}}}=2^{\frac{17}{6}-\frac{11}{6}}=2^{\frac{12}{6}}=2^{2}=4[/tex]

Скрит текст: покажи

[tex]\sqrt[3]{16\sqrt{2}\sqrt[4]{3}}=(16\sqrt{2}\sqrt[4]{3})^{\frac{1}{3}}=(2^{4}\cdot 2^{\frac{1}{2}}\cdot 3^{\frac{1}{4}})^{\frac{1}{3}}[/tex]

[ammornil]

Показателната функция с положителна основа е винаги положителна. Оттук веднага се вижда, че [tex]B>0, A<0 \Rightarrow B>A[/tex].

Скрит текст: покажи

[tex]A=(-4\cdot 0,5^{2y-7})\cdot \left[12\cdot \left(\frac{1}{2} \right)^{10-2y} \right]=-4\cdot \left(\frac{1}{2} \right)^{2y-7}\cdot 12\cdot \left(\frac{1}{2} \right)^{10-2y}=-48\cdot\left(\frac{1}{2} \right)^{2y-7+10-2y}=-48\cdot \left(\frac{1}{2} \right)^{3}=-48\cdot \frac{1^{3}}{2^{3}}=-\frac{48}{8}=-6 \\ \phantom{q} \\ B= \left[27\cdot \left(\frac{1}{3} \right)^{5x-1} \right]\div \left[\frac{1}{2}\cdot \left(\frac{1}{3} \right)^{5x-3} \right]=27\cdot \left(\frac{1}{3} \right)^{5x-1}\cdot 2\cdot \left(\frac{1}{3} \right)^{-5x+3}=54\cdot \left(\frac{1}{3} \right)^{5x-1-5x+3}=54\cdot \frac{1^{2}}{3^{2}}=\frac{54}{9}=6[/tex]

[ammornil]

Една изчислителна грешка в края на решението (моля за извинение) - вижте текста в червено.[tex]\\[/tex]Остава само да разделим двата израза (знакът за деление ще заместим с дробна черта) [tex]\\ \frac{\sqrt[3]{48}\cdot 2\sqrt{2\sqrt[6]{3}}}{\sqrt[3]{6}\cdot \sqrt[3]{16\sqrt{2}\sqrt[4]{3}}}=\frac{2^{\frac{17}{6}}\cdot 3^{\frac{5}{12}}}{2^{\frac{11}{6}}\cdot 3^{\frac{5}{12}}}=\frac{2^{\frac{17}{6}}\cdot \cancel{3^{\frac{5}{12}}}}{2^{\frac{11}{6}}\cdot \cancel{3^{\frac{5}{12}}}}=\red{2^{\frac{17}{6}-\frac{11}{6}}=2^{\frac{6}{6}}=2^{1}=2}\\[/tex]

[mihaela22]

много благодаря