Опростяване на радикал

[Гост]

Да се опрости израза $\sqrt{30+28\sqrt{3}}$

[Darina73]

В решението ще ползвам формулата [tex]\sqrt{A + \sqrt{B} }= \sqrt{ \frac{A+ \sqrt{ A^{2 } -B} }{2} }[/tex]+[tex]\sqrt{ \frac{A - \sqrt{ A^{2 } -B} }{2} }[/tex]

[tex]\sqrt{30 +28 \sqrt{3} }[/tex]= [tex]\sqrt{10 \sqrt{3}. \sqrt{3}+28 \sqrt{3} }[/tex]=

= [tex]\sqrt{2 \sqrt{3}(5 \sqrt{3}+14) }[/tex]= [tex]\sqrt{2 \sqrt{3}( 14+ \sqrt{75}) }[/tex]=

=[tex]\sqrt{2 \sqrt{3} }[/tex]. [tex]\sqrt{14+ \sqrt{75} }[/tex]= прилагаме формулата

=[tex]\sqrt{2 \sqrt{3} }[/tex]( [tex]\sqrt{ \frac{14+11}{2} } + \sqrt{ \frac{14-11}{2} }[/tex] )=

=[tex]\sqrt{2 \sqrt{3} }[/tex]([tex]\frac{ \sqrt{25} }{ \sqrt{2} }+ \frac{ \sqrt{3} }{ \sqrt{2} }[/tex])=

=[tex]\sqrt{2}[/tex].[tex]\sqrt{ \sqrt{3} }[/tex].[tex]\frac{5+ \sqrt{3} }{ \sqrt{2} }[/tex]=

=5[tex]\sqrt{ \sqrt{3} }[/tex]+[tex]\sqrt{ \sqrt{3} }[/tex].[tex]\sqrt{3}[/tex]=

=5[tex]\sqrt[4]{3}+ \sqrt{3}. \sqrt[4]{3}[/tex]=

=[tex]\sqrt[4]{3}( 5+ \sqrt{3} )[/tex]

[Гост]

Благодаря, Darina! Тази формула е много полезна. Но трябва да се сетим и да изнесем общ множител $\sqrt{3}$ пред израза под радикала. Като се сетим това, можем да продължим с формулата за квадрат на двучлен:

$\sqrt{30+28\sqrt{3}}=\sqrt{\sqrt{3}(2.5.\sqrt{3}+25+3)}=\sqrt{\sqrt{3}(5+\sqrt{3})^2}=\sqrt[4]{3}(5+\sqrt{3})$

Но с дадената от вас формула можем веднага да проверяваме дали представянето като точен квадрат е възможно: $A=30;\ B=(28\sqrt{3})^2=2352\Rightarrow A^2-B<0$ - представянето не е възможно ($A^2-B$ е под корен квадратен във формулата) и трябва да мислим за предварително преобразуване.

Още веднъж благодаря!

[Гост]

Всъщност, за да приложим формулата директно, трябва само да сменим местата на $30$ и $28\sqrt{3}$

$\sqrt{30+28\sqrt{3}}=\sqrt{28\sqrt{3}+\sqrt{900}}=(A=28\sqrt{3};\ B=900)=\sqrt{\frac{28\sqrt{3}+\sqrt{28^2.3-900}}{2}}+\sqrt{\frac{28\sqrt{3}-\sqrt{28^2.3-900}}{2}}=$

$=\sqrt{\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot(28+\sqrt{28^2-300})}+\sqrt{\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot(28-\sqrt{28^2-300})}=\sqrt[4]{3}\left(\sqrt{\frac{28+\sqrt{484}}{2}}+\sqrt{\frac{28-\sqrt{484}}{2}}\right)=$

$=\sqrt[4]{3}\left(\sqrt{\frac{28+22}{2}}+\sqrt{\frac{28-22}{2}}\right)=\sqrt[4]{3}(\sqrt{25}+\sqrt{3})=\sqrt[4]{3}(5+\sqrt{3})$